Теорема на Гаус-Остроградски

Теоремата на Гаус-Остроградски е резултат от векторния анализ, който представя зависимостта между дивергенцията на едно векторно поле и потока на полето през затворена повърхност. Теоремата следва от един специален случай на теоремата на Стоукс, която от своя страна обобщава основния израз в интегралното и диференциално смятане.

Формулировка

Дадено е: $V \subset \mathbb{R}^n$ компактно множество с частично гладка граница $A$. Векторното поле $\vec F$ е непрекъснато върху границата на V и непрекъснато и диференцируемо вътре в областта $V$, а $\vec n$ е нормала излизаща от елемента площ $dA$. Тогава е в сила:

$\int_V \operatorname{div} \vec F \; \mathrm dV = \oint_{A} \vec F \cdot \vec n\; \mathrm dA.$

Приложение

Теоремата е от особена важност във физиката, особено в електромагнетизма (например, при решаването на задачи, свързани с някои от уравненията на Максуел, виж Теорема на Гаус) и хидродинамиката (чиито математически апарат също включва векторния анализ).

История

Първи използва теоремата Жозеф Луи Лагранж през 1762. По-късно, независимо от Лагранж и един от друг, теоремата откриват и Карл Фридрих Гаус (през 1813) и Джордж Грийн (1825). Първото доказателство на теоремата е дадено от Михаил Остроградски през 1831.

Вижте още

• Теореми на Грийн
• Функция на Грийн

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Gaußscher Integralsatz“ в Уикипедия на немски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.