Уравнения на Максуел

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Серия статии на тема

Класическа електродинамика

CoulombsLaw.svg
Електричество Магнетизъм Електромагнетизъм

Уравненията на Максуел или уравнения на Максуел-Херц са система от 4 уравнения, обобщени от Джеймс Кларк Максуел, които описват поведението на електрическото, магнитното и електромагнитно полета, както и взаимодействието на последните с веществени среди.

Въведение[редактиране | edit source]

Четирите уравнения на Максуел показват:

  • взаимната зависимост на електрическото и магнитно полета,
  • съществуването на електромагнитни вълни,
  • крайната скорост на разпространение на електромагнитните вълни
  • разпространението на електромагнитното поле със скоростта на светлината, както и природата на светлината като електромагнитна вълна

През 1864 Максуел е първият, който обединява четирите основни уравнения на електромагнетизма в обща система. Той е и първият, който обръща внимание, че е необходима корекция на закона на Ампер, а именно: променливото електрическо поле създава магнитно поле, както и че последното се създава и от токове на електрическа индукция.

Освен това Максуел показва, че вълните, създадени от колебаещи се електрически и магнитни полета, се разпространяват във вакуум със скорост, която може да бъде предсказана с прости експерименти. Използвайки тогавашните данни, Максуел получил скорост от 310 740 000 m/s.

Максуел (1865) пише:

„Тази скорост е толкова близка до тази на светлината, че изглежда имаме сериозна причина да заключим, че самата светлина е електромагнитно смущение във формата на вълни, разпространявано посредством електромагнитно поле и според законите за електромагнетизма.“

Максуел се оказва прав в това предположение, въпреки че не доживява неговото потвърждение (от Хайнрих Херц, който между другото е отричал наличието на електромагнитни вълни, през 1888). Качественото характеризиране на светлината като електромагнитна вълна се счита за един от най-големите триумфи на физиката на 19 век. Всъщност Майкъл Фарадей постулира същата представа за светлината през 1846, но не успява да даде качествено обяснение или да предскаже светлинната скорост. Това откритие полага основите на много бъдещи развои във физиката, като специалната теория на относителността.

История на уравненията на Максуел и относителността[редактиране | edit source]

Формулировката на Максуел от 1865 е съставена от 20 уравнения и 20 променливи, което включва няколко уравнения, сега считани за помощни на сега възприетите уравнения.

Модерната математическа формулировка на уравненията на Максуел е дело на Оливър Хевисайд и Уилард Гибс, които през 1884 преформулират оригиналната система уравнения на Максуел до много по-опростено представяне, използвайки векторния анализ. Промяната към векторни изрази създава симетрично математическо представяне, което подсилило възприятието за физическите симетрии между различните полета. Тази силно симетрична формулировка може да бъде пряко свързана с бъдещи фундаментални открития във физиката.

Към края на 19 век, поради появата на скоростта на светлината

c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}

в уравненията на Максуел, те са считани за изразяващи електромагнетизма само в светлинния етер (постулираната среда за разпространение на светлината, чиято интерпретация е сериозно оспорвана). Когато експериментът на Майкелсън-Морли, проведен от Едуард Морли и Алберт Абрахам Майкелсън, дава нулев резултат за промяната на скоростта на светлината при въртенето на Земята спрямо предполагаемия „етер”, Лоренц и други търсят алтернативни решения. Това търсене завършва кулминационно със специалната теория на относителността на Айнщайн, която предполага отсъствието на абсолютна координатна система в покой (или етер). Теорията допуска също така и инвариантност на уравненията на Максуел във всички относителни (инерциални) координатни системи.

Уравненията за електромагнитното поле имат вътрешна връзка със специалната теория на относителността: уравненията за магнитното поле могат да бъдат изведени от преобразуването на уравненията за електрическото поле при релативистки трансформации при ниски скорости. (При относителността, уравненията са написани дори в по-компактна форма, „ковариантна“ форма, изразени като полеви тензор-4 от ранг-2, който обединява магнитното и електрическото полета в едно).

Калуца и Клайн показват (1920), че уравненията на Максуел могат да се изведат чрез разширяване на общата теория на относителността в пет измерения. Тази стратегия за използване на повече измерения за обединяване на различни сили се прилага във физиката на елементарните частици.

Обобщение на уравненията[редактиране | edit source]

Всички променливи с удебелен шрифт представят векторни величини.

Общи уравнения[редактиране | edit source]

Второто уравнение е еквивалентно на твърдението, че не съществуват магнитни монополи.

Силата, упражнена върху заредена частица от електрическото и магнитно полета, се получава от уравнението на Лоренц:

\mathbf{F} = q (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}),

където

q e зарядът на частицата,
v e векторът скорост на движение на частицата,
\mathbf{E} е векторът интензитет на електрическото поле,
\mathbf{B} е векторът на магнитната индукция.

Уравненията на Максуел са приложими главно за макроскопично усреднени полета, които се променят динамично в микромащаб в околността на отделните атоми (където са подложени също и на квантовомеханични ефекти). Само в този макроскопичен смисъл (на осреднени стойности на полето) може да се дефинират величини като диелектричната и магнитна проницаемост на материалите. (Уравненията на Максуел в микроскопичен план, игнорирайки квантовите ефекти са просто тези във вакуум, по принцип трябва да се включат и всички заряди на атомно ниво и т.н., което е трудно решим проблем).

Линейни веществени среди[редактиране | edit source]

В линейни среди векторите D и В са свързани с E и H по следния начин:

\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}
\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}

където

ε е диелектричната проницаемост

μ е магнитната проницаемост

\mathbf{H} е векторът интензитет на магнитното поле.

(Това всъщност може да се разшири и до анализ на нелинейни материали, чрез използването на ε и μ като зависими от интензитета на полето.)

В изотропна среда ε и μ са независими от времето скалари и уравненията на Максуел се ограничават във вида:

\nabla \cdot \varepsilon \mathbf{E} = \rho
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}
\nabla \times \mathbf{\frac{B}{\mu}} = \mathbf{J} + \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}

Тук

\nabla е векторният оператор на Хамилтън,
\rho е обемната плътност на електрическите заряди,
\mathbf{J} е векторът плътност на електрическия ток.

В изотропни и хомогенни среди ε и μ са константи независими от положението в пространството и така могат да бъдат взаимнозаменяеми в различните производни по посока.

В по-общ случай ε и μ могат да бъдат тензори от ранг-2 (матрици 3х3) описващи двойно пречупващи (анизотропни) материали. Също, въпреки че за много цели зависимостта време/честота за тези константи може да се пренебрегне, всеки веществен обект проявява материална дисперсия, при която ε и/или μ зависят от честотата.

Във вакуум, без заряди и токове[редактиране | edit source]

Елекромагнитна вълна

Вакуумът е линейна, хомогенна, изотропна, без-дисперсионна среда и константите на пропорционалност във вакуум са означени с ε0 и μ0 (пренебрегвайки незначителни нелинейности от квантови ефекти). При вакуум и в отсъствие на токове и електрически заряди, се получават уравненията на Максуел в пустота (абсолютен вакуум):

\nabla \cdot \mathbf{E} = 0
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}} {\partial t}
\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}

Тези уравнения имат просто решение в израз на бягащи синусоидални плоски вълни, с взаимноперпендикулярни посоки на електрическия и магнитен интензитет и перпендикулярни на посоката на разпространение. Двете полета са във фаза и се разпространяват със скорост:

c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}

Максуел открива, че тази величина с е просто скоростта на светлината във вакуум и така също, че светлината е форма на електромагнитно лъчение.

Плътност на заряда, интензитет на електрическото поле[редактиране | edit source]

\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho,

където ρ е свободната плътност на електричните заряди (в единици C/m3), което не включва свързаните диполни заряди във веществото, D е електрическата индукция (поле на отместване [C/m2]). Това уравнение съответства на закона на Кулон за стационарни заряди във вакуум.

Еквивалентната интегрална форма, още известна като закон на Гаус, е:

\oint_A \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = Q_\mbox{enclosed}

където dA е диференциалната площ върху затворената повърхнина А с определяща посоката (на dA) нормала, насочена навън от повърхнината и Qenclosed е свободният заряд, обхванат от повърхнината.

В линейни материални среди, електрическата индукция D е директно свързана с интензитета на електрическото поле Е чрез материално зависимата константа, наречена диелектрична проницаемост, ε:

\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}.

Всеки материал може да бъде разглеждан като линеен, докато електрическото поле не е изключително силно. Диелектричната проницаемост на свободното пространство се означава с ε0 и се записва в уравнението:

\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho_t}{\varepsilon_0}

където Е е интензитетът на електрическото поле (в единици V/m), ρt е пълната плътност на заряда (включително и свързаните заряди), и ε0 (приблизително 8,854 pF/m) е диелектричната проницаемост във вакуум. ε = ε0r, където εr е относителната диелектрична проницаемост.

Структура на магнитното поле[редактиране | edit source]

\nabla \cdot \mathbf{B} = 0

В е магнитната индукция [Т], също наричана плътност на магнитният поток.

Интегрална форма:

\oint_A \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0

dA е диференциалната площ от повърхнината А с посока съвпадаща с тази на нормалата насочена навън от повърхнината.

Както интеграла на електрическото поле, това уравнение е в сила само ако се отнася за затворена повърхност.

Това уравнение се отнася за структурата на магнитното поле, защото то изразява, че за произволен обемен елемент, нетната големина на векторните компоненти, които сочат вън от повърхнината, обхващаща обема, трябва да е равна на нетната големина на векторните компоненти, които сочат към повърхнината. Структурно това означава, че линиите на магнитното поле са затворени линии (контури). Казано по друг начин, магнитните линии не могат да водят началото си от някъде. Опитът да се проследят линиите до техния източник или крайна точка в края на краищата води до връщане до стартовата точка. Следователно това е математическа формулировка на допускането, че няма магнитни монополи.

Общ вид на уравненията[редактиране | edit source]

Наименование Диференциална форма Интегрална форма
Закон на Гаус относно
поток на електрическата индукция
\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho \oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \rho \cdot dV
Закон на Гаус относно
поток на магнитната индукция
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0
Закон на Фарадей:
за промяна на магнитната индукция
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \ { d \over dt }  \int_S  \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}
Закон на Ампер
(в разширения от Максуел вариант):
\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} \oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_S \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} +
{d \over dt} \int_S \mathbf{D} \cdot d \mathbf{A}


Таблица на измервателните единици в електродинамиката[редактиране | edit source]

(съгласно международно приетата система SI):

Символ Значение Измервателна SI-единица
\mathbf{E} Интензитет на електрическото поле V/m

волт на метър

\mathbf{H} Интензитет на магнитното поле
A/m
ампер на метър
\mathbf{D} Електрическа индукция
(плътност на електрическия поток)
C/m2
кулон на кв. метър
\mathbf{B} Магнитна индукция,
наричана също плътност на магнитния поток
или магнитно поле
T или Wb/m2
тесла, или вебер на кв. метър
\ \rho \ Плътност на свободните електрически заряди
не се включват свързаните диполни двойки
C/m3
кулон на куб. метър
\mathbf{J} Плътност на електрическия ток
не включва поляризационните токове и токовете на намагнитване в средата
A/m2
ампер на кв. метър
d\mathbf{A} Диференциален вектор, равен по дължина на площта на пренебрежимо малка област, с посока по нормалата към повърхността на тази област m2
кв. метър
 dV \ Диференциален елемент от обема V, заграден от повърхност S m3
куб. метър
 d \mathbf{l} Диференциален вектор на елемента от пътя, с посока по тангентата към затворен контур C, заграждащ площ S m
метър
\nabla \cdot Оператор дивергенция 1/m
на метър
\nabla \times Ротация или завихряне 1/m

на метър

Литература[редактиране | edit source]

  • Maxwell, J. C., A Treatise on Electricity and Magnetism. Clarendon Press, Oxford, 1873.
  • Джексон, Д., Теория электромагнитного поля. Мир, Москва, 1965.
  • Ландау, Л., Е.М. Лифшиц, Теория поля. Наука, Москва.
  • Поновский, В., М. Филипс, Класическая электродинамика. Москва, 1963.
  • Попов, Хр., Електродинамика. Университетско издателство “Св. Кл. Охридски”, С., 1995.
Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното Лиценз за свободна документация на ГНУ Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Maxwell's Equations“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.