Закон на Био-Савар

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Серия статии на тема

Класическа електродинамика

CoulombsLaw.svg
Електричество Магнетизъм Електромагнетизъм

Законът на Био-Савар (по-рядко наричан още Закон на Био-Савар-Лаплас) дава връзката между тока \scriptstyle{\mathbf{I}} и магнитното поле \scriptstyle{\mathbf{B}}, което той създава. Кръстен е на двамата френски математици Жан-Батист Био (Jean-Baptiste Biot) и Феликс Савар (Félix Savart). В сила е само за статични магнити полета и обикновено се прилага в по-прости случаи, вместо закона на Ампер.

Математично представяне[редактиране | edit source]

\overrightarrow{B}(\overrightarrow{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int I\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{l} \times \frac{\overrightarrow{r} - \overrightarrow{r}'}{|\overrightarrow{r} - \overrightarrow{r}'|^3}

където:

\scriptstyle{\mathbf{B}} е магнитното поле, което създава проводникът,
\scriptstyle{\mu_0} е магнитната константа,
\scriptstyle{I} е токът,
\scriptstyle{\mathrm{d}l} е безкрайно малко парче от проводника, а векторът \scriptstyle{\mathrm{d}\mathbf{l}} сочи в посока на тока,
\scriptstyle{\mathbf{r}} е радиус-векторът на точката, в която се създава магнитното поле,
\scriptstyle{\mathbf{r}'} е радиус-векторът на безкрайно малкото парче проводник.

Ако се използва връзката между тока \scriptstyle{I} и плътността му \scriptstyle{\mathbf{j}}:

I \cdot\mathrm{d}\overrightarrow{l} = \overrightarrow{v} \cdot \mathrm{d}q = \overrightarrow{v}\cdot \rho \cdot \mathrm{d}V = \overrightarrow{j} \cdot \mathrm{d}V,

законът може да се представи и като интеграл по обема:

\overrightarrow B(\overrightarrow r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{V}\overrightarrow j(\overrightarrow{r}')\times\frac{\overrightarrow r-\overrightarrow{r}'}{|\overrightarrow r-\overrightarrow{r}'|^3}\;\mathrm{d}{V'}.

В повечето случаи е удобно да се работи само с едни радиус-вектор. В такъв случай, можете да заместите \scriptstyle{\mathbf{r}'=0} без да нарушите валидността на закона. Също така можете да изразите \scriptstyle{\mathbf{r}} чрез единичния вектор \scriptstyle{\hat\mathbf{r}}:

\frac{\overrightarrow r}{r^3}=\frac{\overrightarrow {\hat r}}{r^2}.

Всичките тези формулировки са математически еквивалентни, просто в различните ситуации някои ще Ви се сторят по-подходящи от други.

Приложение[редактиране | edit source]

Магнитно поле на движещ се точков заряд[редактиране | edit source]

Магнитното поле, което създава точков заряд, движещ се с постоянна и нералитивистка скорост, се смята по следната формула:

\overrightarrow{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{  q \cdot \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{\hat{r}}}{r^2}.

В случая просто е използвана връзката между тока и скоростта на заряда, показана по-горе.

Безкрайно дълъг прав проводник[редактиране | edit source]

В триизмерното пространство за векторното произведение важи следното:

\mathrm {d}\!\overrightarrow l\times\overrightarrow r=\mathrm {d}l\cdot r \sin \phi=\mathrm {d}l\cdot r \cos \theta.

Също така:

\frac {a}{r}=\cos \theta \Rightarrow r=\frac{a}{\cos \theta};
\frac {l}{a}=\tan \theta \Rightarrow \mathrm {d}l=a\cdot \frac {\mathrm{d} \theta}{\cos^2 \theta}.

При заместване в израза за магнитното поле се получава:

\overrightarrow{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \limits_{-\infty}^{+\infty} I\cdot\mathrm{d}\!\overrightarrow{l} \times \frac{\overrightarrow{r}}{|\overrightarrow{r}^3|} = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \limits_{-\frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}} I\cdot\ \frac{\mathrm{d}l \cdot r \cos \theta}{r^3} =
=\frac{\mu_0 \cdot I}{4\pi}\int \limits_{-\frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}} \frac{a \cos \theta \mathrm{d} \theta}{r^2 \cos^2 \theta} = \frac{\mu_0 \cdot I}{4\pi}\int \limits_{-\frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}} \frac{a \cos^3 \theta \mathrm{d} \theta}{a^2 \cos^2 \theta} = \frac{\mu_0 \cdot I}{4\pi\cdot a} \int \limits_{-\frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}} \cos \theta \mathrm{d}\theta.

Магнитното поле на безкрайно дълъг проводник е:

B = \frac{\mu_0 \cdot I}{2\pi\cdot a}

Посока на полето се определя по правилото на дясната ръка.

Прав проводник с крайна дължина[редактиране | edit source]

Този случай е аналогичен на предишния, само че се интергрира от \theta_1 до \theta_2:

B = \frac{\mu_0 \cdot I}{4\pi\cdot a}\cdot(\sin \theta_2 - \sin \theta_1)

Кръгла проводяща рамка[редактиране | edit source]

Магнитното поле по оста на симетрия z e:

B_z=\int|\mathrm{d} \vec B|\cdot \cos \alpha = \frac {\mu_0}{4 \pi} \oint \frac{I\mathrm{d}l}{r^3} \cdot \underbrace{r \sin \alpha}_{R} = \frac{\mu_0\cdot I \cdot 2\pi \cdot R \cdot R}{4\pi\cdot r^3}=\frac{\mu_0\cdot I \cdot R^2}{2(x^2+R^2)^\frac{3}{2}}.
Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното Лиценз за свободна документация на ГНУ Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Biot-Savart law“ и страницата „Biot-Savart-Gesetz“ в Уикипедия на английски и немски език. Оригиналните текстове, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за творби създадени преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналните страници тук и тук, за да видите списъка на тeхните съавтори.