Закон на Био-Савар

Тази статия е част от серията статии на тема Класическа електродинамика

Електричество Магнетизъм Електромагнетизъм Електростатика Закон на Кулон, Теорема на Гаус, Електричен дипол, Електрически заряд, Интензитет на електрическото поле, Електрично поле, Електричен потенциал Магнитостатика Закон на Био-Савар, Закон на Ампер, Магнитен момент, Магнитно поле, Магнитен поток Електродинамика Дипол, Сила на Лоренц, Електромагнитно поле, Уравнения на Максуел, Електромагнитна индукция, Електромагнитно излъчване Електрическа верига Волт-амперна характеристика, Закон на Ом, Електрическо съпротивление, Закони на Кирхоф, Индуктивност, Електрически капацитет, Електрическа проводимост, Електрически импеданс, Електрически ток, Електрическо напрежение Известни учени Хенри Кавендиш, Майкъл Фарадей, Андре-Мари Ампер, Густав Кирхоф, Джеймс Кларк Максуел, Хайнрих Херц, Алберт Абрахам Майкелсън, Робърт Миликан, Георг Ом

Законът на Био-Савар (по-рядко наричан още Закон на Био-Савар-Лаплас) дава връзката между тока $\scriptstyle{\mathbf{I}}$ и магнитното поле $\scriptstyle{\mathbf{B}}$, което той създава. Кръстен е на двамата френски математици Жан-Батист Био (Jean-Baptiste Biot) и Феликс Савар (Félix Savart). В сила е само за статични магнити полета и обикновено се прилага в по-прости случаи, вместо закона на Ампер.

Математично представяне

$\overrightarrow{B}(\overrightarrow{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int I\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{l} \times \frac{\overrightarrow{r} - \overrightarrow{r}'}{|\overrightarrow{r} - \overrightarrow{r}'|^3}$

където:

$\scriptstyle{\mathbf{B}}$ е магнитното поле, което създава проводникът,

$\scriptstyle{\mu_0}$ е магнитната константа,

$\scriptstyle{I}$ е токът,

$\scriptstyle{\mathrm{d}l}$ е безкрайно малко парче от проводника, а векторът $\scriptstyle{\mathrm{d}\mathbf{l}}$ сочи в посока на тока,

$\scriptstyle{\mathbf{r}}$ е радиус-векторът на точката, в която се създава магнитното поле,

$\scriptstyle{\mathbf{r}'}$ е радиус-векторът на безкрайно малкото парче проводник.

Ако се използва връзката между тока $\scriptstyle{I}$ и плътността му $\scriptstyle{\mathbf{j}}$:

$I \cdot\mathrm{d}\overrightarrow{l} = \overrightarrow{v} \cdot \mathrm{d}q = \overrightarrow{v}\cdot \rho \cdot \mathrm{d}V = \overrightarrow{j} \cdot \mathrm{d}V,$

законът може да се представи и като интеграл по обема:

$\overrightarrow B(\overrightarrow r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{V}\overrightarrow j(\overrightarrow{r}')\times\frac{\overrightarrow r-\overrightarrow{r}'}{|\overrightarrow r-\overrightarrow{r}'|^3}\;\mathrm{d}{V'}.$

В повечето случаи е удобно да се работи само с едни радиус-вектор. В такъв случай, можете да заместите $\scriptstyle{\mathbf{r}'=0}$ без да нарушите валидността на закона. Също така можете да изразите $\scriptstyle{\mathbf{r}}$ чрез единичния вектор $\scriptstyle{\hat\mathbf{r}}$:

$\frac{\overrightarrow r}{r^3}=\frac{\overrightarrow {\hat r}}{r^2}.$

Всичките тези формулировки са математически еквивалентни, просто в различните ситуации някои ще Ви се сторят по-подходящи от други.

Приложение

Магнитно поле на движещ се точков заряд

Магнитното поле, което създава точков заряд, движещ се с постоянна и нералитивистка скорост, се смята по следната формула:

$\overrightarrow{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{ q \cdot \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{\hat{r}}}{r^2}.$

В случая просто е използвана връзката между тока и скоростта на заряда, показана по-горе.

Безкрайно дълъг прав проводник

Магнитното поле на безкрайно дълъг проводник

В триизмерното пространство за векторното произведение важи следното:

$\mathrm {d}\!\overrightarrow l\times\overrightarrow r=\mathrm {d}l\cdot r \sin \phi=\mathrm {d}l\cdot r \cos \theta.$

Също така:

$\frac {a}{r}=\cos \theta \Rightarrow r=\frac{a}{\cos \theta};$

$\frac {l}{a}=\tan \theta \Rightarrow \mathrm {d}l=a\cdot \frac {\mathrm{d} \theta}{\cos^2 \theta}.$

При заместване в израза за магнитното поле се получава:

$\overrightarrow{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \limits_{-\infty}^{+\infty} I\cdot\mathrm{d}\!\overrightarrow{l} \times \frac{\overrightarrow{r}}{|\overrightarrow{r}^3|} = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \limits_{-\frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}} I\cdot\ \frac{\mathrm{d}l \cdot r \cos \theta}{r^3} =$

$=\frac{\mu_0 \cdot I}{4\pi}\int \limits_{-\frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}} \frac{a \cos \theta \mathrm{d} \theta}{r^2 \cos^2 \theta} = \frac{\mu_0 \cdot I}{4\pi}\int \limits_{-\frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}} \frac{a \cos^3 \theta \mathrm{d} \theta}{a^2 \cos^2 \theta} = \frac{\mu_0 \cdot I}{4\pi\cdot a} \int \limits_{-\frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}} \cos \theta \mathrm{d}\theta.$

Магнитното поле на безкрайно дълъг проводник е:

$B = \frac{\mu_0 \cdot I}{2\pi\cdot a}$

Посока на полето се определя по правилото на дясната ръка.

Прав проводник с крайна дължина

Този случай е аналогичен на предишния, само че се интергрира от $\theta_1$ до $\theta_2$:

$B = \frac{\mu_0 \cdot I}{4\pi\cdot a}\cdot(\sin \theta_2 - \sin \theta_1)$

Кръгла проводяща рамка

Магнитното поле по оста на симетрия $z$ e:

$B_z=\int|\mathrm{d} \vec B|\cdot \cos \alpha = \frac {\mu_0}{4 \pi} \oint \frac{I\mathrm{d}l}{r^3} \cdot \underbrace{r \sin \alpha}_{R} = \frac{\mu_0\cdot I \cdot 2\pi \cdot R \cdot R}{4\pi\cdot r^3}=\frac{\mu_0\cdot I \cdot R^2}{2(x^2+R^2)^\frac{3}{2}}.$

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Biot-Savart law“ и страницата „Biot-Savart-Gesetz“ в Уикипедия на английски и немски език. Оригиналните текстове, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за творби създадени преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналните страници тук и тук, за да видите списъка на тeхните съавтори.