Алгебра (теория на пръстените)

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В теорията на пръстените, алгебра над комутативен пръстен или R-алгебра е обобщение на понятието алгебра над поле.

Формално определение[редактиране | edit source]

Нека R и A са комутативни пръстени с единица. A се нарича R-алгебра ако за a, b\in R и x, y\in A e дефинирано A-произведение ax\in A и са налице следните аксиоми:

  1. a(x + y) = ax + ay
  2. (a + b)x = ax + by
  3. (ab)x = a(bx)
  4. 1.x = x
  5. a(xy) = (ax)y = x(ay).

Първите четири аксиоми показват, че A представлява R-модул, а петата се грижи за съгласуваност с умножението в A.

A се нарича крайнопородена R-алгебра, ако съществуват краен брой x_1,...,x_n\in A, такива че всеки елемент на A е полином с коефициенти от R на x_1,...,x_n.

Примери[редактиране | edit source]

  • Всеки пръстен може да се разглежда като \mathbb{Z}-алгебра.
  • Пръстенът на полиномите на n променливи k[x_1,...,x_n] се явява k-алгебра.
  • Ако R е подпръстен на A, пръстенът A по естествен начин е R-алгебра.