Аритметична прогресия

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Аритметичната прогресия е числова редица, в която всеки член след първия се получава от своя предходен, като се прибави едно и също число. Числото, което се прибавя, се нарича разлика на прогресията и се означава с d. Съгласно тази дефиниция

a_2 = a_1 + d, a_3 = a_2 + d, ... ,a_n = a_{n-1} + d, ....

Една аритметична прогресия е определена, ако се знае първия ѝ член a_1 и разликата d.

Общ член на аритметична прогресия[редактиране | edit source]

Формулата за общия член на аритметична прогресия е

\ a_n = a_1 + (n - 1)d.

Свойства на аритметичната прогресия[редактиране | edit source]

  • Сборът от първия и последния член на крайна аритметична прогресия е равен на сбора на всяка двойка равноотдалечени от началото и края й членове. Нека прогресията е
\ a_1, a_2, a_3, ... ,a_{n-1}, a_n.

Тогава

\ a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = ....
  • Всеки член на аритметичната прогресия
\ a_1, a_2, ... , a_{i-1}, a_i, a_{i+1}, ... ,a_n, ...

след първия е средно аритметичен на съседните си членове:

\ 2 a_i = a_{i-1} + a_{i+1} за всяко \ i\geq 2 .
  • Обратно твърдение: Ако \ a_1, a_2, ... ,a_n, ... е числова редица, в която всеки член след първия е средно аритмеетичен на съседните си членове, тази редица е аритметична прогресия.

Сума на първите n члена на аритметична прогресия[редактиране | edit source]

Да означим с Snсумата на първите n члена на аритметичната прогресия

a_1, a_2, ... ,a_n, ... .

Тогава

S_n =  \frac{a_1 + a_n}{2} n.

Като имаме пред вид, че

a_n = a_1 + (n - 1) d,

то

S_n = \frac {2 a_1 + (n - 1) d}{2} n.

Приложения

  • Сумата на първите n естествени числа е
1 + 2 + ...+ n = \frac {n + 1}{2} n.
  • Сумата от квадратите на първите n естествени числа е
1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{n}{6} (n + 1) (2 n + 1).

Вижте също[редактиране | edit source]