Геометрична прогресия

Геометрѝчна прогрèсия в математиката е редица от числа, в която първото число е различно от нула, а всяко следващо число е получено от предишното чрез умножение с константа, различна от нула. Тази константа се нарича частно, а числата – членове на прогресията.

За всяка геометрична прогресия $a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{n},\,...$ е в сила равенството $a_{n}=a_{n-1}q$, където $a_{1}\neq 0$, $q\neq 0$ е частното на прогресията, $n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2.$ Очевидно една геометрична прогресия е напълно определена, ако се знаят първия ѝ член и нейното частно. В този смисъл тя е рекурсивна редица.

Например редицата 2, 4, 8, 16, 32, ... е геометрична прогресия с първи член 2 и частно 2, а геометричната прогресия 40, 20, 10, 5, ... е с първи член 20 и частно 1/2. Първата е пример за нарастваща, а втората – за намаляваща прогресия.

Диаграма, илюстрираща три основни геометрични прогресии от модела 1(rⁿ⁻¹) до 6 повторения в дълбочина. Първият блок е единичен блок, а пунктираната линия представлява безкрайна сума на прогресията – число, към което тя ще се приближава, но никога няма да го достигне: 2, 3/2, и 4/3 съответно.

Конструиране на триъгълника на Серпински. Това е фрактал. Броят на черните триъгълници, дължината на страната им, индивидуалната им площ и площта на покритата област следват геометрични прогресии със съответни съотношения 3, 1/2, 1/4, 3/4.

Геометричната прогресия е известна още с имената геометрична редица (от английски geometric sequence) и кратна прогресия (от руски кратная прогрессия).

Формули за общия член и частното

Формулата за $n$-тия член на прогресията е рекурентното съотношение $a_{n}=a_{1}q^{n-1}$.
Получава се като се изразява всеки член чрез определението за геометрична прогресия и се прилага методът на математичната индукция за $n$-тия член:

${\begin{aligned}a_{2}&=a_{1}q\\a_{3}&=a_{2}q=(a_{1}q)\cdot q=a_{1}q^{2}\\a_{4}&=a_{3}q=(a_{1}q^{2})\cdot q=a_{1}q^{3}\\&\vdots \\a_{n}&=a_{n-1}q=(a_{1}q^{n-2})\cdot q=a_{1}q^{n-1}\\\end{aligned}}$

Обобщена формула за общия член:

$a_{n}=a_{k}\cdot q^{n-k},$ където $k<n;\;\forall n,\forall k\in \mathbb {N} .$

Формулите за частното следват от определението за геометрична прогресия: $q={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$;

$q={\sqrt[{n-k}]{\dfrac {a_{n}}{a_{k}}}},$ където $k<n;\;\forall n,\forall k\in \mathbb {N} .$

Тук трябва да се приеме $q\neq 0$, тъй като в противен случай съотношението ${\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ не би съществувало за всички съседни членове.

Анализ на частното

• $q>1:$ клоняща към плюс или минус безкрайност редица в зависимост от знака на първия член
  (напр. 1, 3, 9, 27, ... $\to +\infty$ или -1, -4, -16, -64, ... $\to -\infty$);
• $0<q<1:$ редицата клони към $0$ (напр. прогресиите ${\textstyle +5,\ 1,\ {\frac {1}{5}},\ {\frac {1}{25}},\ {\frac {1}{125}},\ \dotsc \to 0}$ или ${\textstyle -4,\ -1,\ -{\frac {1}{4}},\ -{\frac {1}{16}},\ {\frac {1}{64}},\ \dotsc \to 0}$;
• $q<0:$ ще се получи редуване на положителни и отрицателни числа;
• $-1<q<0:$ редицата клони към нула с редуващи се положителни и отрицателни членове:

${\textstyle +1,\ -{\frac {1}{2}},\ +{\frac {1}{4}},\ -{\frac {1}{8}},\ +{\frac {1}{16}},\ -{\frac {1}{32}},\ +{\frac {1}{64}},\ -{\frac {1}{128}},\ +{\frac {1}{256}},\ \dotsc \to 0}$.
Като цяло, ${\textstyle a_{n}=1\cdot \left(-{\frac {1}{2}}\right)^{n}=(-1)^{n}/2^{n}}$;

• $q<-1:$ могат да се разглеждат 2 редици: нечетните номера клонят към плюс безкрайност, а четните – към минус безкрайност, или обратно в зависимост от знака на първия член. Например при $q=-3:$ прогресията 2, -6, 18, -54, 162, -486, ... е съставена от редиците 2, 18, 162, ... $\to +\infty$ и
  -6, -54, -486, ... $\to -\infty$ или прогресията -1, 3, -9, 27, -81, 243, ... е съставена от редиците
  -1, -9, -81, ... $\to -\infty$ и 3, 27, 243, ... $\to +\infty$;
• $q=1:$ редицата е съставена от константи, равни на първия член ($6,6,...,6$);
• $q=-1:$ редицата е съставена от константи, равни или противоположни на първия член, в зависимост от четността на поредния номер (напр. −π, π, −π, π, ...);
• $q=0:$ редицата се състои само от нули, с изключение на първия член.

Сходимост на геометричните прогресии

В изследването на границата на безкрайна геометрична последователност $(a_{1}q^{n})$ трябва да се разграничават различните случаи: За $a_{1}=0$ постоянната последователност $0,0,\ldots$ е сходяща и равна на нула. За $a_{1}\neq 0$ сходимостта зависи от частното $q$:

Случай 1: За $q=-1$ следващите членове винаги се изменят скокообразно напред-назад между $a_{1}$ и $-a_{1}$, така че геометричната прогресия е разходяща.

Случай 2: За $q=1$ постоянната последователност $a_{1},a_{1},\ldots ,$ е сходяща и равна на $a_{1}$.

Случай 3: За $|q|>1$ всеки следващ член $a_{n+1}=a_{n}\cdot q$ е по-голям от предишния $a_{n+1}>a_{n}$ при $q>1$ и по-малък от него $a_{n+1}<a_{n}$ при $q<-1$. В обобщение $|a_{n+1}|>|a_{n}|$ и прогресията е разходяща.

Случай 4: За $|q|<1$ се получава ${\frac {1}{|q|}}>1,$ така
$(1)\,\,\,\,{\frac {1}{|q|}}=1+\delta \,$ за $\delta >0.$

Сега, ако $\varepsilon >0,$ тогава според аксиомата на Архимед съществува $N\in \mathbb {N} ,$ така че

$(2)\,\,\,\,n\delta >1/\varepsilon \,$ за всички $n>N.$

От (1) и (2), заедно с неравенството на Бернули, следва:

$\left(1/|q|\right)^{n}=(1+\delta )^{n}\geq 1+n\delta \geq n\delta >1/\varepsilon \,$ за всички $n>N.$

Така $|q^{n}|=|q|^{n}<\varepsilon$ за всички $n>N.$

Това означава, че $(q^{n})$ е нулева редица. Но тогава и $(a_{1}q^{n})$ също се стреми към нула и прогресията е сходяща.

Видове геометрични прогресии

Геометричните прогресии не се делят на различни видове като отделни категории, а се класифицират по своята монотонност според характеристиките на техните членове и частното $q$, което е отношение на последователни членове. Ако всеки член на геометричната прогресия е по-голям от предишния, тогава прогресията се нарича „нарастваща“; ако е по-малък от предишния, тогава тя се нарича „намаляваща“.

Нарастващи

Геометричната прогресия е нарастваща или растяща, ако се изпълнява един из наборите условия:

$a_{1}>0\quad$ и $\quad q>1\quad$ (напр. 2, 4, 8, 16, ... ; q = 2) – всички членове са положителни и нарастват

или

$a_{1}<0\quad$ и $\quad 0<q<1\quad$ (напр. -81, -27, -9, -3, ... ; q = -3) – всички членове са отрицателни и нарастват.

Такава прогресия се нарича още монотонно растяща.

Намаляващи

Геометричната прогресия е намаляваща, ако се изпълнява един от наборите условия:

$a_{1}>0\quad$ и $\quad 0<q<1$ (напр. 24, 8, 3, 1/3, ... ; q=1/3) – всички членове са положителни и намаляват

или

$a_{1}<0\quad$ и $\quad q>1$ (напр. -1/32, -1/16, -1/8, -1/4, ... ; q=2) – всички членове са отрицателни и намаляват.

Такава прогресия се нарича още монотонно намаляваща.

Доказателство за нарастващи и намаляващи геометрични прогресии: Записва се разликата между $\left(n+1\right)$-ия и $n$-ия член на геометричната прогресия по формулата за общия член:

$a_{n+1}-a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\cdot \left(q-1\right).$

За нарастваща прогресия тази разлика трябва да е положителна, независимо от номера $n$, а за намаляваща – отрицателна. Условията, записани в доказаното твърдение, гарантират, че разликата между членовете $a_{n+1}$ и $a_{n}$ ще имат определен знак.

Постоянни (стационарни)

Частният случай, при който отношението q = 1. Всички членове са еднакви и равни на първия член (напр. 5, 5, 5, 5, ...).

Знакоредуващи се (алтернативни)

Частният случай, при който отношението q < 0. Членовете редуват знаците си, а прогресията е нито растяща, нито намаляваща.

При $a_{1}>0$:

• ако $0>q>-1$ (напр. ${\textstyle 3,\ -1,\ +{\frac {1}{3}},\ -{\frac {1}{9}},\ +{\frac {1}{27}},\ -{\frac {1}{81}},\ \dotsc ;\quad q=-{\frac {1}{3}}}$), нечетните членове образуват намаляваща, а четните – растяща геометрична прогресия.
• ако $q<-1$ (напр. $2,\ -4,\ 8,\ -16,\ 32,\ -64,\ ...;\quad q=-2$), нечетните членове образуват растяща, а четните – намаляваща геометрична прогресия.
  

При $a_{1}<0$:

• ако $0>q>-1$ (напр. ${\textstyle -{\frac {5}{3}},\ +{\frac {5}{6}},\ -{\frac {5}{12}},\ +{\frac {5}{24}},\ -{\frac {5}{48}},\ +{\frac {5}{96}},\ \dotsc ;\quad q=-{\frac {1}{2}}}$), нечетните членове образуват растяща, а четните – намаляваща геометрична прогресия.
• ако $q<-1$ (напр. $-1,\ 5,\ -25,\ 125,\ ...;\quad q=-5$), нечетните членове образуват намаляваща, а четните – растяща геометрична прогресия.

Видове геометрични прогресии

$a_{1}>0$	$q>1$	нарастваща
	$0<q<1$	намаляваща
$a_{1}<0$	$q>1$	намаляваща
	$0<q<1$	нарастваща
	$q=1$	постоянна
	$q<0$	знакоредуваща се

Свойства

• Всеки член на геометричната прогресия след първия е средно геометричен на съседните си членове, т. е. $a_{n}^{2}=a_{n-1}a_{n+1}$ за всяко $n\geq 2$. От тук идва името геометрична прогресия:

$a_{n-1}\cdot a_{n+1}=a_{1}q^{n-1}\cdot a_{1}q^{n+1}=a_{1}^{2}q^{2n}=(a_{1}q^{n})^{2}=a_{n}^{2}$,

откъдето

$a_{n}={\sqrt {a_{n-1}\cdot a_{n+1}}}.$

Може да се докаже и по обратния път:

$a_{n}^{2}=a_{n}a_{n}=a_{1}q^{n-1}a_{1}q^{n-1}=a_{1}q^{n-1-i}a_{1}q^{n-1+i}=a_{n-i}a_{n+i}.$

По-точна е следната формулировка на характеристичното свойство: Модулът на всеки член на геометрична прогресия, с изключение на първия, е равен на средната геометрична стойност (пропорционална средна стойност) на двата члена до него

$|a_{n}|={\sqrt {a_{n-1}a_{n+1}}},$

• В сила е и обратното твърдение, което е признак за геометрична прогресия: ако $a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{n},\,...$ е числова редица с ненулеви членове, в която всеки член след първия е средно геометричен на съседните си членове, то тази редица е геометрична прогресия.
  

Даденият признак може да се разшири за други случаи.
Ако членовете на геометричната прогресия са отрицателни, се получава $a_{n}=-{\sqrt {a_{n-1}\cdot a_{n+1}}}$, където $n\geqslant 2$.

Ако знаците на членовете на прогресията се редуват, получаваме $a_{n}=\left(-1\right)^{n+j}{\sqrt {a_{n-1}\cdot a_{n+1}}}$, където $j=0$ или $j=1$ и $n\geqslant 2$.

• Нека $a_{k},a_{l},a_{m}$ са съответно $k$-ти, $l$-ти и $m$-ти членове на геометрична прогресия, където $k,\,l,\,m\in \mathbb {N}$. Тогава за всяка такава тройка е валидно допълнителното свойство на геометрична прогресия, наречено тъждество на геометрична прогресия:

$a_{k}^{l-m}\cdot a_{l}^{m-k}\cdot a_{m}^{k-l}=1.$

• Логаритмите на членовете на геометрична прогресия образуват аритметична прогресия.

$\log(a_{n})=\log(a_{1}q^{n-1})=\log(a_{1})+(n-1)\cdot \log(q)$

Формула за общия член на аритметична прогресия: $b_{n}=b_{1}+(n-1)\cdot d$.
В нашия случай $b_{1}=\log(a_{1})$, $d=\log(q)$.

Графична интерпретация

Ако нанесем точки с координати $\left(n;\,a_{n}\right)$ върху координатна равнина, където $n$ е естествено число и $a_{n}$ е $n$-тият член на някаква геометрична прогресия, за която $q>0$, тогава всички точки ще принадлежат на графиката на функцията

$y=a_{1}\cdot q^{x-1}={\frac {a_{1}}{q}}\cdot q^{x},$

където $q$ е частното на геометричната прогресия, а $a_{1}$ е първият ѝ член. Това означава, че е валидна следната теорема:

За да бъде една редица $\left\{a_{n}\right\}$ геометрична прогресия за $q>0$, е необходимо и достатъчно $a_{n}$ да е експоненциална функция (на $n$), дефинирана върху множеството от естествени числа.

Примери

Получаване на нови квадрати чрез свързване на средните точки на страните на предишни квадрати

• Последователността от квадратни площи, където всеки следващ квадрат се получава чрез съединяване на средните точки на страните на предишния, е безкрайна геометрична прогресия с частно 1/2. Площите на триъгълниците, получени на всяка стъпка, също образуват безкрайна геометрична прогресия със знаменател 1/2, чийто сбор е равен на площта на началния квадрат.
• Последователността на броя на зърната в квадратите в задачата за зърната на шахматна дъска е геометрична прогресия.

Сума на геометрична прогресия

Визуално доказателство на формулата за сума на първите $n$ члена на геометрична прогресия.
Ако |r| < 1 и n → ∞, терминът rⁿ изчезва, оставяйки S_∞ = a1 − r

Сумата на първите $n$ члена на геометричната прогресия е

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}$

или, записана подробно,

$(3)\,\,\,S_{n}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+a_{1}q^{3}+\dots +a_{1}q^{n-1}.$

Умножаваме двете страни на (1) с частното $q$ и получаваме

$(4)\,\,\,qS_{n}=a_{1}q+a_{1}q^{2}+a_{1}q^{3}+a_{1}q^{4}+\dots +a_{1}q^{n}.$

Изваждаме (4) от (3) и намираме

$(5)\,\,\,S_{n}-qS_{n}=a_{1}-a_{1}q^{n}\Rightarrow (1-q)S_{n}=a_{1}(1-q^{n}).$

Оттук, ако $q\neq 1$, се получава формулата за сума на първите $n$ члена на геометрична прогресия:

$(6)\,\,\,S_{n}={a_{1}(1-q^{n}) \over (1-q)}.$

Формулата е удобна ако $q<1$. При $q>1$ тя може да се изведе като се извади (3) от (4) и се получава във вида

$(7)\,\,\,S_{n}={a_{1}(q^{n}-1) \over (q-1)}.$

В частност при $q=1$ имаме

$(8)\,\,\,S_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}=\underbrace {a_{1}+a_{1}+\dots +a_{1}} _{n}=na_{1}.$

Геометричен ред

Сумата на безкрайната геометрична прогресия
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... клони към 2.

Геометричният ред е сбор от безкраен брой членове, който има постоянно съотношение между последователните си членове

$(9)\,\,\,a+aq+aq^{2}+aq^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }aq^{n}$.

Това е сума на безкрайна геометрична прогресия.

При $a_{1}>0$ и $\left|q\right|<1$ прогресията е намаляваща и нейната $n$-та (частична, парциална) сума се дава с (6). Ако имаме още, че $n\to \infty$, то е изпълнено $q^{n}\to 0$ и тогава под сума на прогресията се разбира границата

$(10)\,\,\,\lim _{n\to \infty }{S_{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}={\frac {a_{1}}{1-q}}.$

Равенството (10) е известно като сума на безкрайно намаляваща геометрична прогресия.

Свойства на сумата на геометрична прогресия

$a_{n+1}=S_{n+1}-S_{n};$

$S_{n}=\sigma _{n}\cdot a_{1}a_{n},$

където $\sigma _{n}$ е сумата от реципрочни числа, т.е. $\sigma _{n}={\dfrac {1}{a_{1}}}+{\dfrac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\dfrac {1}{a_{n-1}}}+{\dfrac {1}{a_{n}}}.$

Произведение на геометрична прогресия

Произведението на първите $n$ члена на геометрична прогресия е

$P_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}\cdot \cdot \cdot a_{n}=\prod _{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}\cdot a_{1}q\cdot a_{1}q^{2}\cdots a_{1}q^{n-1}.$

Оттук лесно получаваме, че $P_{n}=a_{1}^{n}q^{1+2+3+\cdot \cdot \cdot +n-1}.$

Сумата в степенния показател на $q$ е всъщност сума на аритметична прогресия с първи член $b_{1}=1$, разлика $d=1$ и последен член $b_{n-1}=n-1$ и е числено равна на ${\frac {(n-1)n}{2}}={\frac {n^{2}-n}{2}}.$ Така произведението на първите $n$ члена на геометрична прогресия (за която предполагаме, че са изпълнени условията $a_{1}\neq 0,\,\,q\neq 0$) се дава с формулата

$(10)\,\,\,P_{n}=a_{1}^{n}q^{\frac {n^{2}-n}{2}}.$

Тя може да се преобразува във вида
$P_{n}=a_{1}^{n}q^{\frac {n^{2}-n}{2}}=a_{1}^{\frac {n}{2}}a_{1}^{\frac {n}{2}}q^{\frac {n(n-1)}{2}}=\left(a_{1}a_{1}q^{n-1}\right)^{\frac {n}{2}},\,\,\,$ или окончателно

$(11)\,\,\,P_{n}=\left(a_{1}a_{n}\right)^{\frac {n}{2}}.$

Произведението на членовете на геометрична прогресия, започвайки с $k$-тия член и завършвайки с $n$-тия член, може да се изчисли по формулата

$P_{k,n}={\dfrac {P_{n}}{P_{k-1}}}.$

Доказателство:
$P_{k,n}=\prod _{i=k}^{n}a_{i}={\frac {\prod _{i=1}^{n}a_{i}}{\prod _{j=1}^{k-1}a_{j}}}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.$

Свойства на произведението на геометрична прогресия

Произведението на първите $n$ члена на геометричната прогресия $\left\{a_{n}\right\}$ се нарича произведението от $a_{1}$ до $a_{n}$ и е израз от вида $P_{n}=\prod \limits _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot \ldots \cdot a_{n-2}\cdot a_{n-1}\cdot a_{n}.$

• $P_{n}={a}_{1}^{n}\cdot {q}^{\frac {n\left(n-1\right)}{2}}$
• $a_{n+1}={\dfrac {P_{n+1}}{P_{n}}}$
• $P_{2n}=P_{n}\cdot {\sqrt[{3}]{P_{3n}}}$
• ${\sqrt[{k}]{P_{k}^{l-m}}}\cdot {\sqrt[{l}]{P_{l}^{m-k}}}\cdot {\sqrt[{m}]{P_{m}^{k-l}}}=1.$

Примери за приложения

Геометричната прогресия описва процеси на нарастване или намаляване, в които измерената стойност на променливата в $(n+1)$-ия момент от време се получава от тази в $n$-ия момент от време чрез умножение по постоянно число $q$.

Сложна лихва

При лихвен процент 5 % вложените пари се увеличават всяка година с коефициент 1,05. По този начин капиталът се развива от година на година като членовете на геометрична прогресия с частно $q=1{,}05$. В този случай числото $q$ означава нарастването на главницата при съответния лихвен процент. С начален капитал от 1000 евро тогава се получава:

• след една година

$1000\,$ евро $\cdot 1{,}05=1050\,$ евро

• след две години

$1000\,$ евро $\cdot 1{,}05^{2}=1102{,}50\,$евро

• след три години

$1000\,$ евро $\cdot 1{,}05^{3}=1157{,}63\,$евро

и така нататък.

Нееластичен удар

Една топка пада на земята от начална височина $h_{0}$. След всяко съприкосновение със земята тя отскача обратно нагоре, но губи фиксиран процент $p\%$ от височината на скока си поради триене. След $n$ удара височините на скока на топката $h_{n}$ образуват геометрична прогресия с първоначален член $h_{0}$ и частно $q=1-p\%$.

Настройка на равно ниво

Геометрична прогресия се среща и в музикологията. Започвайки от определена начална честота, последователността от октави съответства на геометрична прогресия със съотношение 2 (насочваща се към дискантите), последователността от чисти квинти (тези от Питагоровия акорд) – на геометрична прогресия със съотношение 3/2, последователността от полутонове на темперирания строй – на геометрична прогресия със съотношение корен 12-и от 2. Темперираният строй използва само 12 чисти квинти, (3/2)¹² ≈ 129,746, които са на стойност „почти“ 7 октави, 2⁷ = 128, т.е. две геометрични прогресии с еднаква начална стойност, едната със съотношение 3/2, другата със съотношение 2, които не могат да съвпадат точно в която и да е точка, съвпадат приблизително за тези стойности.

Има няколко начина, по които може да се настрои музикален инструмент. Един от тях е настройка на едно и също ниво. В него честотното съотношение между два съседни тона винаги е постоянно. При дванадесет звука в октавата, настройката на $n$-ия тон тук е:

$f(n)=a_{0}\cdot \left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{n}$,

където $a_{0}$ е „оригиналният тон“ от честотата на камертона, а за $i$-тото полутонно стъпаловидно разстояние до тона на камертона $f(i)$ е честотата на желания звук.

Така че коефициентът на растеж е $q={\sqrt[{12}]{2}}$.

Ред на Ренар

Редовете на Ренар са система от предпочитани числа, разделящи интервал от 1 до 10 на 5, 10, 20 или 40 стъпки. Множителят между две последователни числа в ред на Ренар е приблизително постоянен (преди закръгляване), а именно 5-ти, 10-ти, 20-ти или 40-ти корен от 10 (съответно приблизително 1,58, 1,26, 1,12 и 1,06), което води до геометрична прогресия (R5, R10, R20. R40). Този набор от предпочитани числа е предложен около 1877 г. от френския армейски инженер полковник Шарл Ренар и е публикуван в инструкция от 1886 г. за пленени балонни войски. Неговата система е приета от ISO през 1949 г., за да се формира препоръката R3 на ISO, публикувана за първи път през 1953 г. или 1954 г., която се е превърнала в международния стандарт ISO 3. Едно приложение на числовата редица на Ренард е номиналният ток на електрически предпазители (напр. R10: 1 A, 2 A, 4 A, 5 A, 10 A, 16 A, 20 A, 25 A, 30 A, 40 A, 50 A, 63 A, 100 A, 200 A). Друго често срещано приложение е номиналното напрежение на кондензаторите (напр. R5: 100 V, 160 V, 250 V, 400 V, 630 V).

Е-серии

Стандартни номинални Е-серии се наричат поредици от числа, установени от стандартите, които определят номиналните стойности (номинали) на основните параметри на произвежданите пасивни електронни елементи (резистори, кондензатори, индуктивни бобини).

Номиналните стойности в една серия с номер N образуват геометрична прогресия с първи член 1 и частно 10^1/N. Така всяка от тях може да се получи от предходната чрез умножаване с частното или от следващата чрез разделяне на 10^1/N. Получените стойности от изчисленията от 1 до 10 се закръглят с точност, определена от номера на серията.

Всеки номинал от N-тата серия може да се определи по формулата за n-тия член на геометричната прогресия:

$a_{n}=10^{n/N}=\exp \left({\frac {n}{N}}\cdot \ln 10\right),$

където номерът на серията $N=2^{i}.3$ ,
при $i=0,\ 1,\ 2,\ ...,\ 6\$ се получава $\ N=3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48,\ 96,\ 192$;

$n=0,\ 1,\ 2,\ ...,\ N$ означава поредния номер на номинала в серията.

Геометрична прогресия от два цикъла стандартни съпротивления на резистори от 1 до 82 Ω от серия E12 с експоненциално изменение.

Вижте също

• Ред (математика)
• Аритметична прогресия
• Аритметично-геометрична прогресия
• Хармонична прогресия
• Числа на Фибоначи
• Показателна функция
• Коефициент на растеж (математика)
• Стандартни номинални Е-серии
• Ефект на снежната топка

Литература

• Корн Г., Корн Т. – Справочник по математике для научных работников и инженеров. – Москва : Наука, 1973. – 832 с. (на руски)
• Елементарна математика. Алгебра. Новітні інформаційні технології навчання (Maple)/ В.М.Михалевич, А.Ф. Дода; Вінниц. нац. техн. ун-. – Вінниця : ВНТУ, 2010 Архив на оригинала от 2013-06-07 в Wayback Machine. (на украински).
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. – Математичний аналіз. Частина 1. – К. : Вища школа, 1992. – 496 с. – ISBN 5-11-003757-4 (на украински).
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. – Математичний аналіз в прикладах і задачах. – 2025. – 1000+ с. (на украински).
• Jochen Schwarze: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Band 1: Grundlagen. 12. Auflage. NWB Verlag, Herne / Berlin 2005, ISBN 3-482-51562-X, S. 166 (на немски).
• Walter Purkert, Alexander Herzog: Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. 9. Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2022, ISBN 978-3-658-36741-1, S. 106 (на немски).
• Eric W. Weisstein: Geometric Sequence. MathWorld, abgerufen am 10. November 2019 (на английски).