Геометрична прогресия

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето

В математиката геометрична прогресия е редица от числа, в която първото число е различно от нула, а всяко друго число е получено от предишното чрез умножение с константа, различна от нула. Тази константа се нарича частно. Например редицата 2, 4, 8, 16, ... е геометрична прогресия с първи член 2 и частно 2, а геометричната прогресия 20, 10, 5,... е получена чрез умножение с 1/2. Първата е пример за растяща, а втората – за намаляваща прогресия.

За всяка геометрична прогресия

е в сила , където q ≠ 0 е частното на прогресията. Очевидно една геометрична прогресия е напълно определена, ако знаем първия ѝ член и частното.

Формула за общия член[редактиране | редактиране на кода]

Формулата за n-тия член на прогресията е:

.

Анализ на частното[редактиране | редактиране на кода]

  • q < 0 – ще се получи редуване на положителни и отрицателни числа,
  • q > 1 – клоняща към плюс или минус безкрайност редица, в зависимост от знака на първия член,
  • q < -1 – могат да се разглеждат 2 редици: четните номера клонят към минус безкрайност и нечетните към плюс безкрайност или обратно, в зависимост от знака на първия член,
  • 0 < q < 1 – редицата клони отгоре или отдолу към 0, в зависимост от знака на първия член,
  • -1 < q < 0 – редицата колони към нула с редуващи се положителни и отрицателни членове,
  • q = 1 – редицата е от константи, равни на първия член,
  • q = -1 – редицата е от константи, равни или противоположни на първия член, в зависимост от четността на номера,
  • q = 0 – редицата се състои само от нули, с изключение на първия член.

Свойства[редактиране | редактиране на кода]

за всяко n ≥ 2, т.е. всеки член на геометричната прогресия след първия е средно геометричен на съседните си членове.

В сила е и обратното твърдение: Ако е числова редица с ненулеви членове, в която всеки член след първия е средно геометричен на съседните си членове, то тази редица е геометрична прогресия.

Логаритмите на членовете на геометрична прогресия образуват аритметична прогресия.

Сума на геометричната прогресия[редактиране | редактиране на кода]

Сумата на първите n члена на геометричната прогресия е

или

.

Когато умножим двете страни на уравнение (1) по частното q полуаваме:

Когато извадим почленно (2) от (1), получаваме (забелязваме, че от членовете от до се повтарят в (1) и (2), т.е. при изваждане се съкращават и след изваждането, отдясно остават единствено и :

.
.

Което ни дава формулата за сбор на първите n члена на геометрична прогресия

при .
при .

Aкo , то и

Произведение на геометричната прогресия[редактиране | редактиране на кода]

Произведението на първите n члена на геометричната прогресия е:

или

От тук се получава:

Степента на q е аритметична прогресия и се получава:

И накрая,

Вижте също[редактиране | редактиране на кода]