Комплексен логаритъм

Комплексният логаритъм е математическа функция, която представлява обобщение на реалния логаритъм върху множеството на комплексните числа.

По определение комплексният логаритъм на дадено ненулево комплексно число $z$ е всяко комплексно число $w$, за което $e^{w}=z$. При това числото $w$ се обозначава с $\log z$. Ако $z$ е зададено в полярната форма $z=re^{i\theta }$, където $r$ и $\theta$ са реални числа и $r>0$, тогава $\ln r+i\theta$ е един от логаритмите на $z$, а всички комплексни логаритми на $z$ са числата от вида $\ln r+i\left(\theta +2\pi k\right)$, където $k$ е всяко цяло число.

Всички комплексни числа $w$, които са корени на уравнението

$$e^{w}=z$$

се наричат комплексни логаритми на z за всяко комплексно число z. Комплексните числа обикновено се представят във вида z = x + iy, където x и y са реални числа, а i е имагинерна единица, квадратът на която е равен на −1. Такова число може да се визуализира като точка в комплексната равнина. Ненулевите комплексни числа могат да се представят и в полярна форма – чрез тяхната абсолютна стойност – положителното, реално разстояние от точката до началото на координатната система – и ъгъла между реалната ос x и правата, преминаваща през началото на координатната система и точката z. Този ъгъл понякога се нарича аргумент на комплексното число.

Абсолютната стойност r на z се получава от

$$\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$$

Като се използва геометричната интерпретация на синус и косинус и тяхната периодичност на 2π всяко комплексно число z може да се опише и като

$$z=x+iy=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=r(\cos(\varphi +2k\pi )+i\sin(\varphi +2k\pi )),$$

за всяко цяло число k. От това се вижда, че аргументът на z не е еднозначно определен – ако φ е валидна стойност, валидни са и стойностите φ' = φ + 2kπ за всяко цяло число k. По конвенция една от валидните стойности на аргумента – обикновено такава, която попада в един от интервалите −π < φ ≤ π или 0 ≤ φ < 2π, наричани клонове на аргументната функция – се избира за основен аргумент, обозначаван с Arg(z).

Основният клон (-π, π) на комплексния логаритъм Log(z): черната точка в z = 1 съответства на абсолютна стойност нула, по-ярките цветове обозначават по-големи абсолютни стойности, а тонът на цвета съответства на аргумента на Log(z). В средата има черна точка, по отрицателната ос оттенъкът се изменя рязко, а в другите посоки постепенно.

Формулата на Ойлер свързва тригонометричните функции синус и косинус с комплексната експонента:

$$e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .$$

Прилагайки тази формула и отчитайки периодичността на тригонометричните функции, могат да бъдат изведени следните равенства:

$${\begin{array}{lll}z&=&r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)\\&=&r\left(\cos(\varphi +2k\pi )+i\sin(\varphi +2k\pi )\right)\\&=&re^{i(\varphi +2k\pi )}\\&=&e^{\ln(r)}e^{i(\varphi +2k\pi )}\\&=&e^{\ln(r)+i(\varphi +2k\pi )}=e^{a_{k}},\end{array}}$$

където ln(r) е единственият реален естествен логаритъм, a_k обозначава комплексните логаритми на z, а k е произволно цяло число. Следователно комплексните логаритми на z, които са всички комплексни стойности a_k, за които a_k-тата степен на e е равна на z, са безкрайния брой стойности

$a_{k}=\ln(r)+i(\varphi +2k\pi ),\quad$ за произволна цяла стойност k.

Приемайки k, така че φ + 2kπ да бъде в дефинирания интервал на основните аргументи, получената стойност a_k се нарича основна стойност на логаритъма, обозначавана с Log(z) (с главно  L). Основният аргумент на всяко положително реално число x е 0; така Log(x) е реално число, което е равно на реалния (естествен) логаритъм. Въпреки това формулите за логаритмите на произведения и степени, валидни за реалните логаритми, не са приложими за основните стойности на комплексните логаритми.