Монжова проекция

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето

Монжовата проекция в дескриптивната геометрия е вариант на ортогоналната проекция. По метода на Монж, проекционният апарат се състои от три взаимно перпендикулярни равнини π1, π2 и π3. Равнината π1 се избира хоризонтално и се нарича първа проекционна равнина. Равнината π2 се избира вертикална фронтално. Тя се нарича втора проекционна равнина и е перпендикулярна на равнината π1. Третата равнина π3 е взаимно перпендикулярна на останалите две и съответно се разполага профилно. Тя се нарича трета проекционна равнина[1]. Пресечните линии на равнините се наричат координатни оси. Точката на пресичане на осите се обозначава с буквата О, което идва от първата буква на латинското origo, означаващо начало. Равнините разделят Евклидовото пространство на т.нар. октанти.[2][3]

Този метод разглежда изобразяване на точка, права и равнина:

Изобразяване на проекции[редактиране | редактиране на кода]

Изобразяване на точка в проекции[редактиране | редактиране на кода]

Фиг. 1. Монжова проекция на точка

При изобразяване на точка проекционният апарат се състои от две взаимно перпендикулярни равнини, съответно с наименования първа и втора проекционна равнина. Тези 2 равнини са охарактеризирани с една дясна ортонормирана координатна система Oxyz, като координатната ос Ox е върху пресечната точка на 2-те равнини.

Правоъгълните проекции на една точка A върху 2-те равнини означаваме съответно с A1 и A2 (фиг. 1).

Равнината АА1А2 е перпендикулярна на двете равнини, а следователно и на оста Ox и я пресича в една точка Ах . Съответно перпендикулярните от A1 и A2 към оста Ох се пресичат в точка Ox. И обратното важи. Ако 2-те точки, съответно от двете равнини се пресичат в точка  Ox , то тези две точки определят точно една точка в пространството, така че ортогоналните и проекции да са дадените две точки.

Изобразяване на права в проекции[редактиране | редактиране на кода]

Фиг. 2 Изобразяване на права

Монжовата проекция на права р изобразяваме с двете и проекции р1 и р2 върху две проекционни равнини (Фиг. 2). Прободите на правата р с тези равнини наричаме стъпки на правата. Когато правата р е в специално положение спрямо проекционните равнини нейните проекции също са в специално положение в чертожната равнина. Частни положения на права:

а) ако една права е успоредна на първата равнина, и е в общо положение спрямо втората, тогава точките на правата имат равни апликати и съответно втората проекция на правата е успоредна на оста Ох. Първата проекция на правата е в общо положение с тази ос. Всяка такава права наричаме хоризонтална. Те имат само втора стъпка.

б) ако правата е успоредна на едната равнина, но е в общо положение с втората.

Тогава точките на успоредната равнина имат равни ординати и следователно първата проекция на правата е успоредна на оста Ох. Втората проекция на правата е в общо положение относно Ох. Такива прави наричаме фронтални и те имат 1-ва стъпка.

в) ако правата е успоредна на оста Ох, тогава правата е успоредна и на двете равнини и от това следва че и двете проекции на правата са успоредни на оста Ох.

г) ако правата е перпендикулярна на едната равнина, тогава първата и проекция е точка, а втората е перпендикулярна на оста Ох, като първата проекция принадлежи на втората (фиг. 3а).

д) ако права d1 е перпендикулярна на оста х и е под ъгъл 45°спрямо двете равнини. Тогава проекциите на точки А и Б ше лежат на равни разстояния от следата х (фиг. 3б).

Фиг 3. Изобразяване на права: а) перпендикулярна на равнина; б) перпендикулярна на оста х и под ъгъл 45°спрямо двете равнини

e) ако една права А е перпендикулярна на друга С, но едната не е перпендикулярна на нито една от двете равнини, то тогава проектиращите равнини на А съвпадат и са перпендикулярни на оста Ох.

Следователно А1 и А2 съвпадат и са перпендикулярни на оста Ох. Тази права не може да се определи с проекциите и, затова е нужно да познаваме две нейни точки. Права от този вид наричаме профилна.

Изобразяване на равнина в проекции[редактиране | редактиране на кода]

Права, която е пресечница на една равнина с проекционна равнина, наричаме диря на тази равнина. Ако една равнина е в общо положение, в Монжовата проекция обикновено я изобразяваме с нейните дири, в частност има две дири първа и втора. Частни положения на равнина:

Фиг. 4. Изобразяване на равнина

а) Ако една равнина е перпендикулярна на друга и тази равнина е в общо положение спрямо трета, то тогава първата диря е перпендикулярна на оста Ох, а втората е в общо положение и съвпада с първата проекция на първата равнина.

Фиг. 5 Изобразяване на права

б) Ако една равнина е успоредна на друга, то тогава тази равнина е перпендиукялрна на трета и първата диря е успоредна на оста Ох, като при това втората диря съвпада с втората проекция на тази равнина. Такава равнина няма първа диря.

в) Ако една равнина е успоредна на оста Ох, то тогава първата диря е успоредна на втората диря и на оста Ох.

Взаимни положения на точка права и равнина[редактиране | редактиране на кода]

Точка и права[редактиране | редактиране на кода]

Точката А лежи на правата а тогава и само тогава, когато проекциите на точката А лежат на съответните проекции на равнината а.

Две прави[редактиране | редактиране на кода]

а) Ако две прави съвпадат, то съответните им проекции също съвпадат, ако съответните проекции на две прави съвпадат, то тези прави съвпадат.

б) Нека правите а и b се пресичат в точка Р. Тогава първата проекция на точката Р лежи в първите проекции на правите а и b. Аналогично е и за втората проекция на Р. Правите а и b се пресичат и са в общо положение спрямо проекционните равнини.

Изобразяване на точка

в) ако две прави са успоредни, то съответните им проекции също са успоредни или съвпадат. правите а и b са успоредни и са в общо положение спрямо проекционните равнини.

Изобразяване на точка

г) Ако две прави са кръстосани, те не попадат в никой от горните случаи. С други думи, ако например първите проекции на а и b се пресичат в първата проекция на точката Р и втората проекция на тази точка лежи на втората проекция на правата b, тогава втората проекция на точката не лежи върху втората проекция на b.

Точка и равнина[редактиране | редактиране на кода]

Една точка лежи в дадена равнина, ако лежи на права от равнината. За намиране проекциите на точка, най-често ще използваме главните прави на равнината. За целта построяваме главна права h през точка А. h1 минава през А1 и h1 е успоредна на проекцията на друга права m1. Определяме първия образ на втората стъпка на правата h, а после и втората стъпка в правата n

Изобразяване на точка

Две равнини[редактиране | редактиране на кода]

а) Ако две равнини съвпадат, то всяка права от едната лежи в другата. Обратно, ако две пресичащи се прави от една равнина лежат в друга равнина, то двете равнини съвпадат. в частност две равнини съвпадат, ако съответните им дири съвпадат.

б) От стереометрията е известно, че правите, в които една равнина пресича две успоредни равнини, са успоредни. Оттук следва че съответните дири на две успоредни равнини са успоредни помежду си.

в) Нека две равнини,m и n се пресичат. За да намирането на пресечницата им са достатъчни две нейни точки. Всяка от тези точки търсим като пресечна точка на две пресичащи се прави, едната от които е от първата равнина, а другата е от втората.

Пробод на права с равнина[редактиране | редактиране на кода]

За да намерим пробода Р на правата а с равнина m, вземаме помощна равнина n, съдържаща правата а. Намираме пресечницата s на m и n. Тогава пробода е равен на пресичането между правата а и пресечницата s.

Перпендикулярност между права и равнина[редактиране | редактиране на кода]

Както знаем, когато правата е перпендикулярна на равнина, тя е перпендикулярна на всяка права от равнината. В частност, ако правата а е перпендикулярна на равнината m, тя е перпендикулярна на дирите на m. Оттук следва, че проекциите на р са перпендикулярни на съответните дири на m: а1 е перпендикулярна на n1 и a2 е перпендикулярна на n2. Обратно, ако дирите на равнината са различни и не са успоредни, то от това че проекциите на а и n са перпендикулярни следва че правата а е перпендикулярна на m.

Основни метрични задачи[редактиране | редактиране на кода]

Дължина на отсечка[редактиране | редактиране на кода]

Ако една отсечка е успоредна на проекционната равнина, то образът и в тази равнина ще е конгруентна с нея отсечка. В общия случай проекцията на отсечка ще е отсечка с по-малка дължина от дадената.

Нека е дадена отсечка AB. За намирането на истинската и дължина, е нужно да завъртим правоъгълния трапец АА1B1B около AB, докато съвпадне с трапец AA1B1B в равнина. Тогава отсечката *АB* има същата дължина както дадената отсечка AB. Да забележим, че с намирането на този трапец, ние намираме ъгъла *фи, който правата AB сключва с равнината.

Изобразяване на точка

Разстояние от точка до равнина[редактиране | редактиране на кода]

Разстоянието от точка до равнина можем да намерим като първо през точката построим права, перпендикулярна на равнината, след като намираме разстоянието от точката до пробата на правата с равнината.

Изобразяване на точка

Разстояние от точка до права[редактиране | редактиране на кода]

Разстоянието от точка до права намираме, като първо построим равнина през точката, перпендикулярна на правата, а след това намираме разстоянието от точката до пробата на правата с равнината.

Изобразяване на точка

Помощни проекционни равнини[редактиране | редактиране на кода]

Решаването на някои задачи се улеснява значително, ако дадените отсечки, прави, ъгли, равнини са в специално положение спрямо проекционните равнини. Например: Ако права е успоредна на едната проекционна равнина, то отсечките от правата се проектират в таи проекционна равнина в равни на тях отсечки. Ъгълът, който правата сключва с другата проекционна равнина също се проектира в равен на него ъгъл.

Ако права е перпендикулярна на проекционна равнина, тя е успоредна на другата проекционна равнина, като при това едната и проекция е точка.

Ако равнина m е успоредна на проекционна равнина, то фигурите от m са еднакви със съответните си проекции.

Ако равнината m е перпендикулярна на n, то първата проекция на m е права. Ъгълът между тази права и оста Ох е равен на ъгъла между m и k. Непосредствено се намира разстоянието от дадена от дадена точка до m – то е равно на разстоянието от първата проекция на точката до първата проекция на m. Директно се намира и прободът на правата m.

Всичко това показва, че е удобно даден обект да е в специално положение спрямо проекционните равнини. Поради това при решаването на някои задачи избираме нова проекционна равнина, която да е в някое от изброените по-горе частни положения с дадена права или равнина. Освен това винаги избираме новата равнина да е перпендикулярна на n или на k.

Изобразяване на точка

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. С. А. Фролов, Начертательная геометрия, Москва, Машиностроене, 1983
  2. С. А. Чекмарев, Начертательная геометрия и черчение, Москва, ВЛАДОС, 2002
  3. „Огнян Касабов – Дескриптивна геометрия“, архив на оригинала от 22 декември 2015, https://web.archive.org/web/20151222112316/http://math.vtu.bg/GeometrieDescriptive.pdf, посетен 22 декември 2015