Сигма-алгебра

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В математиката и по-специално в теорията на мярката, -алгебра (или сигма-алгебра) върху едно множество представлява непразна система от подмножества на , която е затворена откъм образуване на комплементи и изброими обединения на своите елементи.Наредената двойка се нарича измеримо пространство.

Дефиниция[редактиране | редактиране на кода]

Нека е множество. Множеството , елементите, на което са подмножества на , се нарича -алгебра, ако са изпълнени следните три условия:

1.
2. за всяко множество (затвореност откъм образуване на комплементарни множества)
3. за всяка редица от елементи на множеството е също елемент на (затвореност откъм образуване на изброими обединения).

Непосредствени следствия от дефинцията[редактиране | редактиране на кода]

От точки 1 и 2 следва, че , а от 2, 3 и правилото на де Морган следва: , т.е. е затворена и откъм образуване на изброими сечения.

Свойства[редактиране | редактиране на кода]

Ако e фамилия от -алгебри, то тогава нейното сечение

е отново -алгебра. Ако e -алгебра върху и е подмножество на , то тогава рестрикцията

е -алгебра върху Y.

Породена -алгебра[редактиране | редактиране на кода]

Нека бъде едно произволно множество от подмножества на дадено множество . Тогава чрез може да се формира специална -алгебра, наречена -алгебра породена от . Бележи се със и се дефинира по следния начин : Нека бележи фамилията от -алгебри върху и нека , т.е. представлява фамилия от всички -алгебри, които съдържат като подмножество. Тогава сечението на тези сигма-алгебри

е -алгебра. Тя е най-малката -алгебра, на която е подмножество.

Борелова сигма-алгебра[редактиране | редактиране на кода]

Нека обозначава системата от отворените подмножества на . Тогава

се нарича борелова -алгебра върху . Елементите на се наричат борелови множества.

Примери[редактиране | редактиране на кода]

  • Най-малката -алгебра e множеството от подмножвества {} на , а най-голямата е булеанът .
  • e сигма-алгебра върху .
  • В контекста на теорията на вероятностите, системата от подмножества на пространството на елементарните събития представлява -алгебра, която се нарича още алгебра на събитията. Елементите на се наричат събития и в случай, че е дадена вероятностна мярка P върху , наредената тройка се нарича вероятностно пространство.

Примери за генериране на сигма-алгебра[редактиране | редактиране на кода]

  • За и следва
.

Външни препратки[редактиране | редактиране на кода]

Литература[редактиране | редактиране на кода]

Енциклопедични статии:
Учебници и монографии: