Сигма-алгебра

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В математиката и по-специално в теорията на мярката, Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \sigma -алгебра (или сигма-алгебра) върху едно множество Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): X представлява непразна система от подмножества на , която е затворена откъм образуване на комплементи и изброими обединения на своите елементи.Наредената двойка се нарича измеримо пространство.

Дефиниция[редактиране | редактиране на кода]

Нека Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): X е множество. Множеството Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \Sigma , елементите, на което са подмножества на Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): X , се нарича Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \sigma -алгебра, ако са изпълнени следните три условия:

1.
2. за всяко множество Неуспех при разбора (Conversion error. Server ("https://bg.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): E\in \Sigma \Rightarrow X\setminus E\in \Sigma (затвореност откъм образуване на комплементарни множества)
3. за всяка редица Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): (E_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} от елементи на Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \Sigma множеството Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \bigcup _{{n=1}}^{{\infty }}E_{n} е също елемент на Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \Sigma (затвореност откъм образуване на изброими обединения).

Непосредствени следствия от дефинцията[редактиране | редактиране на кода]

От точки 1 и 2 следва, че Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): X\in \Sigma , а от 2, 3 и правилото на де Морган следва: Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): X\setminus (\bigcap _{{n=1}}^{{\infty }}E_{n})=\bigcup _{{n=1}}^{{\infty }}(X\setminus E_{n}) , т.е. Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \Sigma е затворена и откъм образуване на изброими сечения.

Свойства[редактиране | редактиране на кода]

Ако Неуспех при разбора (Conversion error. Server ("https://bg.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\mathcal {A}} e фамилия от Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \sigma -алгебри, то тогава нейното сечение

Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \cap {\mathcal {A}}:=\{E\in {\mathfrak {P}}(X):\forall \Sigma \in {\mathcal {A}}(E\in \Sigma )\}

е отново Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \sigma -алгебра. Ако Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \Sigma e Неуспех при разбора (Conversion error. Server ("https://bg.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): \sigma -алгебра върху Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): X и е подмножество на Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): X , то тогава рестрикцията

Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \Sigma _{Y}:=\{E\cap Y:E\in \Sigma \}

е Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \sigma -алгебра върху Y.

Породена Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \sigma -алгебра[редактиране | редактиране на кода]

Нека Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\mathfrak {E}}\subseteq {\mathfrak {P}}(X) бъде едно произволно множество от подмножества на дадено множество Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): X\neq \emptyset . Тогава чрез може да се формира специална Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \sigma -алгебра, наречена Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \sigma -алгебра породена от Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\mathfrak {E}} . Бележи се със Неуспех при разбора (Conversion error. Server ("https://bg.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): \sigma ({\mathfrak {E}}) и се дефинира по следния начин : Нека Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\mathcal {A}} бележи фамилията от Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \sigma -алгебри върху Неуспех при разбора (Conversion error. Server ("https://bg.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): X и нека Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\mathbb {A}}:=\{\Sigma \in {\mathcal {A}}:{\mathfrak {E}}\subseteq \Sigma \} , т.е. Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\mathbb {A}} представлява фамилия от всички Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \sigma -алгебри, които съдържат Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\mathfrak {E}} като подмножество. Тогава сечението на тези сигма-алгебри

Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \sigma ({\mathfrak {E}}):=\bigcap _{{\Sigma \in {\mathbb {A}}}}^{{}}\Sigma

е Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \sigma -алгебра. Тя е най-малката Неуспех при разбора (Conversion error. Server ("https://bg.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): \sigma -алгебра, на която Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\mathfrak {E}} е подмножество.

Борелова сигма-алгебра[редактиране | редактиране на кода]

Нека Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\mathfrak {O}}_{n} обозначава системата от отворените подмножества на Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \mathbb{R} ^{n},n\in \mathbb{N} . Тогава

Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\mathfrak {B}}_{n}:=\sigma ({\mathfrak {O}}_{n})

се нарича борелова Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \sigma -алгебра върху Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \mathbb{R} ^{n} . Елементите на Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\mathfrak {B}}_{n} се наричат борелови множества.

Примери[редактиране | редактиране на кода]

  • Най-малката Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \sigma -алгебра e множеството от подмножвества {Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \emptyset ,X } на Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): X , а най-голямата е булеанът Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\mathfrak {P}}(X) .
  • Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \Sigma =\{\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{3,4\},\{1,2,3,4\}\} e сигма-алгебра върху Неуспех при разбора (Conversion error. Server ("https://bg.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): X=\{1,2,3,4\} .
  • В контекста на теорията на вероятностите, системата Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\mathfrak {A}}\subseteq {\mathfrak {P}}(\Omega ) от подмножества на пространството на елементарните събития Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \Omega представлява Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \sigma -алгебра, която се нарича още алгебра на събитията. Елементите на Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\mathfrak {A}} се наричат събития и в случай, че е дадена вероятностна мярка P върху Неуспех при разбора (Conversion error. Server ("https://bg.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\mathfrak {A}} , наредената тройка Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): (\Omega ,{\mathfrak {A}},P) се нарича вероятностно пространство.

Примери за генериране на сигма-алгебра[редактиране | редактиране на кода]

  • За Неуспех при разбора (Conversion error. Server ("https://bg.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): X:=\{0,1,2,3\} и Неуспех при разбора (Conversion error. Server ("https://bg.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\mathfrak {E}}=\{\{2\},\{0,1,2\}\} следва
Неуспех при разбора (MathML по възможност (експериментално): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \sigma ({\mathfrak {E}})=\{\emptyset ,\{2\},\{3\},\{0,1\},\{2,3\},\{0,1,2\},\{0,1,3\},\{0,1,2,3\}\} .

Външни препратки[редактиране | редактиране на кода]

Литература[редактиране | редактиране на кода]

Енциклопедични статии:
Учебници и монографии: