Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици): Разлика между версии
Редакция без резюме |
adding ja:ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理 |
||
Ред 28: | Ред 28: | ||
[[is:Bolzano-Weierstrass setningin]] |
[[is:Bolzano-Weierstrass setningin]] |
||
[[it:Teorema di Bolzano-Weierstrass]] |
[[it:Teorema di Bolzano-Weierstrass]] |
||
[[ja:ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理]] |
|||
[[pl:Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa]] |
[[pl:Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa]] |
||
[[pt:Teorema de Bolzano-Weierstrass]] |
[[pt:Teorema de Bolzano-Weierstrass]] |
Версия от 00:55, 10 май 2008
Теоремата на Болцано - Вайерщрас (за безкрайните редици) гласи, че: Всяка безкрайна и ограничена редица притежава сходяща подредица.
Доказателство
Нека и Ако има точка на сгъстяване , то очевидно .
Да допуснем, че няма точка на сгъстяване. Тогава околност на , такава че съдържа само краен брой членове на .
Тогава обединението е покритие на интервала . От теоремата на Хайне - Борел следва, че има крайно подпокритие , състоящо се от краен брой интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на . Но има безбройно много членове в интервала , което е противоречие и следователно има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана.
Тази теорема е доказана от чехския математик Болцано през 1817 г., а по-късно независимо от него е получена от Вайерщрас. Тя е една от основните теореми в математическия анализ.