Формула на Ойлер: Разлика между версии
м Mixed words repair |
Редакция без резюме |
||
Ред 12: | Ред 12: | ||
Графика, показваща взаимовръзката между <math>\sin \varphi</math>, <math>\cos \varphi</math> и комплексната експоненциална функция. |
Графика, показваща взаимовръзката между <math>\sin \varphi</math>, <math>\cos \varphi</math> и комплексната експоненциална функция. |
||
Ако искаме да обясним формилата на Ойлер с най-прости думи, това е равносилно на ротация на единичен вектор на ъгъл <math>\varphi</math>. |
Ако искаме да обясним формилата на Ойлер с най-прости думи, това е равносилно на ротация на единичен вектор на ъгъл <math>\varphi</math>. |
||
==Извод== |
|||
Уравнението на Ойлер може да бъде изведено по много начини, но един от най-елегантните изводи прибягва до помощта на комплексен интеграл. |
|||
Нека z е [[комплексно число]] в тригонометричен вид |
|||
:<math>z \equiv \cos \varphi + i\sin \varphi \!</math>. |
|||
След диференциране и преобразуване, получаваме |
|||
:<math>d z = d (\cos \varphi + i\sin \varphi \!)</math> |
|||
:<math>d z = (-\sin \varphi + i\cos \varphi \!) d\varphi </math> |
|||
:<math>d z = i(i\sin \varphi + \cos \varphi \!) d\varphi </math> |
|||
:<math>d z = i(\cos \varphi + i\sin \varphi \!) d\varphi </math> |
|||
:<math>d z = izd\varphi </math> |
|||
:<math> \frac{ d z }{z} = id\varphi </math> |
|||
:<math> \int \frac{ d z }{z} = \int id\varphi </math> |
|||
:<math> \ln z = i\varphi </math> |
|||
:<math> z = e^{i\varphi} </math> |
|||
и оттук |
|||
:<math> e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi \!</math>. |
|||
==Тъждество на Ойлер== |
|||
В частния случай, когато |
|||
: <math>\varphi = \pi \!</math> |
|||
получаваме |
|||
: <math>e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!</math> |
|||
Доколкото |
|||
:<math>\cos \pi = -1 \, \! </math> |
|||
и |
|||
:<math>\sin \pi = 0,\,\!</math> |
|||
следва |
|||
: <math>e^{i \pi} = -1,\,\!</math> |
|||
а оттук и |
|||
: <math>e^{i \pi} +1 = 0.\,\!</math>, |
|||
което е и прочутото тъждество на Ойлер. |
|||
По същия начин, когато аргументът е равен на <math> \frac{\pi}{2},</math> получаваме |
|||
: <math>e^\frac{i \pi}{2} = i, \!</math> |
|||
друга многозначителна математическа зависимост, свързана с [[имагинерна единица|имагинерната единица]]. |
|||
[[Категория:Тригонометрия]] |
[[Категория:Тригонометрия]] |
Версия от 11:18, 13 юни 2008
Формулата на Ойлер е математическа формула от областта на комплексния анализ, показваща дълбоката връзка между тригонометричните функции и комплексната експоненциална функция.
Формулата на Ойлер гласи че за всяко реално число :
- където: е - основа на натуралния логаритъм,
- i - имагинерна единица,
- и са тригонометрични функции.
Ричард Файнман нарича формулата на Ойлер "скъпоценен камък" и "най-важната формула" в цялата математика (Feynman, p. 22-10).
Графика, показваща взаимовръзката между , и комплексната експоненциална функция. Ако искаме да обясним формилата на Ойлер с най-прости думи, това е равносилно на ротация на единичен вектор на ъгъл .
Извод
Уравнението на Ойлер може да бъде изведено по много начини, но един от най-елегантните изводи прибягва до помощта на комплексен интеграл. Нека z е комплексно число в тригонометричен вид
- .
След диференциране и преобразуване, получаваме
и оттук
- .
Тъждество на Ойлер
В частния случай, когато
получаваме
Доколкото
и
следва
а оттук и
- ,
което е и прочутото тъждество на Ойлер. По същия начин, когато аргументът е равен на получаваме
друга многозначителна математическа зависимост, свързана с имагинерната единица.