Теорема на Хамилтон

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето

Теоремата на Хамилтон е една от теоремите в геометрията и гласи следното:

Ако точката е центърът на описаната около триъгълник окръжност, а точката е негов ортоцентър, то е в сила равенството .

Доказателство[редактиране | редактиране на кода]

Hamilton's theorem.jpg

Нека , и . Понеже точката е център на описаната окръжност, то , и . Тогава е изпълнена системата

Събираме трите равенства почленно и получаваме

Нека сега представим като разлика на следните вектори:

Понеже , и , то горната система придобива следният вид:

Събирайки трите равенства почленно ще получим

тоест

От и следва, че

или

откъдето .

С това теоремата е доказана.