Теорема на Хамилтон

Теоремата на Хамилтон е една от теоремите в геометрията и гласи следното:

Ако точката $O$ е центърът на описаната около триъгълник $ABC$ окръжност, а точката $H$ е негов ортоцентър, то е в сила равенството ${\overrightarrow {OH}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}$.

Доказателство

Нека $OX\perp AB$, $OY\perp BC$ и $OZ\perp CA$. Понеже точката $O$ е център на описаната окръжност, то $AX=XB$, $BY=YC$ и $CZ=ZA$. Тогава е изпълнена системата

${\begin{cases}{\overrightarrow {OX}}={\dfrac {1}{2}}\left({\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}\right)\\{\overrightarrow {OY}}={\dfrac {1}{2}}\left({\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}\right)\\{\overrightarrow {OZ}}={\dfrac {1}{2}}\left({\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {OA}}\right)\end{cases}}$

Събираме трите равенства почленно и получаваме

${\overrightarrow {OX}}+{\overrightarrow {OY}}+{\overrightarrow {OZ}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}\ (1)$

Нека сега представим ${\overrightarrow {OH}}$ като разлика на следните вектори:

${\begin{cases}{\overrightarrow {OH}}={\overrightarrow {AH}}-{\overrightarrow {AO}}\\{\overrightarrow {OH}}={\overrightarrow {BH}}-{\overrightarrow {BO}}\\{\overrightarrow {OH}}={\overrightarrow {CH}}-{\overrightarrow {CO}}\end{cases}}$

Понеже ${\overrightarrow {CH}}=2{\overrightarrow {OX}}$, ${\overrightarrow {BH}}=2{\overrightarrow {OZ}}$ и ${\overrightarrow {AH}}=2{\overrightarrow {OY}}$, то горната система придобива следният вид:

${\begin{cases}{\overrightarrow {OH}}=2{\overrightarrow {OY}}-{\overrightarrow {AO}}\\{\overrightarrow {OH}}=2{\overrightarrow {OZ}}-{\overrightarrow {BO}}\\{\overrightarrow {OH}}=2{\overrightarrow {OX}}-{\overrightarrow {CO}}\end{cases}}$

Събирайки трите равенства почленно ще получим

$3{\overrightarrow {OH}}=2({\overrightarrow {OX}}+{\overrightarrow {OY}}+{\overrightarrow {OZ}})-{\overrightarrow {AO}}-{\overrightarrow {BO}}-{\overrightarrow {CO}}$

тоест

$3{\overrightarrow {OH}}=2({\overrightarrow {OX}}+{\overrightarrow {OY}}+{\overrightarrow {OZ}})+{\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}\ (2)$

От $(1)$ и $(2)$ следва, че

$3{\overrightarrow {OH}}=2({\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}})+{\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}$

или

$3{\overrightarrow {OH}}=3({\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}})$

откъдето ${\overrightarrow {OH}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}$.

С това теоремата е доказана.