Ортоцентър

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето

Трите височини на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича ортоцентър. Ортоцентърът лежи вътре в триъгълника, само ако той е остроъгълен (трите му вътрешни ъгли са по-малки от 90°). Когато триъгълникът е тъпоъгълен, ортоцентърът лежи вън от него, а когато е правоъгълен – съвпада с върха, при който е правият ъгъл.

Свойства[редактиране | редактиране на кода]

Трите височини в един триъгълник се пресичат в една точка[редактиране | редактиране на кода]

Ще разгледаме две доказателства. Нека , и .

Доказателство с окръжности

Orthocenter3.png

Означаваме . Понеже , то четириъгълникът е вписан в окръжност. Тогава . В четириъгълникът , , следователно и той е вписан. Това означава, че . От и става ясно, че . Нека сега . В триъгълник , и , следователно . С това доказахме, че трите височини се пресичат в една точка.

Доказателство с вектори

Orthocenter5.png

От тъждеството на Ойлер имамеПонеже скаларното произведение на два перпендикулярни вектора е равно на нула, то стигаме до извода, че

откъдето и

Следователно трите височини се пресичат в една точка.

Еднакви окръжности[редактиране | редактиране на кода]

Нека е ортоцентърът на триъгълник . Тогава окръжностите, описани около триъгълниците и , са еднакви.

Orthocenter7.png

Доказателство

Нека . Тогава . Прилагаме синусовата теорема за триъгълниците и :

където и са радиусите на окръжностите, описани съответно около триъгълниците и .

Но , следователно системата придобива следния вид:

откъдето става ясно, че , т.e. окръжностите са еднакви.

Аналогично може да се покаже, че и

Права на Ойлер[редактиране | редактиране на кода]

Ортоцентърът, центърът на описана окръжност, медицентърът и центърът на Окръжността на деветте точки лежат на една права - права на Ойлер. Центърът на Окръжността на деветте точки съвпада със средата на отсечката, свързваща ортоцентъра с центъра на описаната окръжност, а разстоянието между медицентъра и центъра на описаната окръжност е половината от това между медицентъра и ортоцентъра.