Теория на графите

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Теорията на графите е клон от математиката, който изучава свойствата на графите.

фиг.1
фиг.2

Графът е абстрактна структура, която представя връзките между отделните елементи на дадено множество. Всеки член на това множество се нарича връх, а връзката между два върха се нарича ребро. Наименованията връх и ребро идват от най-често използваното визуално представяне на графа, както е показано на фиг.1. Върховете са оцветени в черно, а ребрата — в зелено.

История[редактиране | edit source]

Първата работа по теория на графите е статията на Ойлер за Кьонигсбергските мостове (1736). Тя обаче остава единствена в течение на 100 години. Интересът към този клон от математиката и към частния случай - дърветата, се възражда около средата на 19 век и е съсредоточен главно в Англия. Върху развитието на Теорията на графите оказват забележимо влияние естествените науки, тъй като тя има приложения в различни области - при изследването на електрическите вериги, моделите на кристалите, структурата на молекулите, в теорията на игрите и програмирането, в биологията и психологията и т.н. Терминът е употребен най-напред в статия на Кьониг, а след това и в монографията му "Theorie der endlichen und unendlichen Graphen" ("Теория на крайните и безкрайните графи", 1936), но самият Кьониг го е заимствал от статия на Шур (1912), в която граф се нарича фигура, състояща се от няколко числа или точки, някои двойки от които са съединени помежду си.

Дефиниции[редактиране | edit source]

Видове графи:

  • ориентиран (фиг.2) — ребрата са насочени, изобразяват се чрез стрелки. Две ребра, свързващи еднакви върхове, но различно ориентирани, за по-голяма прегледност се изобразяват с една двупосочна стрелка.
  • неориентиран
  • претеглен(тегловен) — на всяко ребро е присвоена някаква стойност — тегло.
  • мултиграф — възможно е повече от едно ребро да свързва два върха (при ориентиран граф — възможно е тези ребра, освен това, да са ориентирани еднакво).

Приложения на графите[редактиране | edit source]

В практическите задачи, графите представляват модел на реален обект. Ето няколко класически примера за реални обекти представяни чрез граф:

  • транспортна мрежа — може да се представи чрез претеглен граф, където върховете изобразяват селищата, а свързващите ги ребра — пътищата между тях. Теглото на всяко ребро ще представлява дължината на пътя.
  • родословно дърво — насочен граф, в който хората се представят чрез върхове. Насочените ребра свързват родителите с децата им. Така към всеки връх ще сочат две ребра (всеки човек има двама родители), с изключение на върховете на родоначалниците, и от всеки връх ще излизат толкова ребра колкото деца е има съответния човек.
  • компютърна мрежа — компютрите (върхове) и свързващите ги информационни канали (ребра).