Функция на Дирихле

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето

Функцията на Дирихле (на името на Петер Густав Льожон Дирихле) е функция над множеството на реалните числа, която приема стойност 1 за всички рационални числа и стойност 0 за всички ирационални числа. Функцията е дефинирана по следния начин:

,

където Q е множеството на рационалните числа, а R – множеството на реалните числа.

Тя е пример за:

  • прекъсната във всяка точка функция,
  • функция, която не може да се интегрира по Риман, но може да се интегрира по Лебег,
  • функция от втори клас в класификацията на Бер с представяне:

Риманов интеграл[редактиране | редактиране на кода]

Функцията на Дирихле не е интегруема по Риман в нито един интервал, понеже при всяко разбиване Z на интервала във всеки подинтервал има винаги както рационални, така и ирационални числа и затова

долната сума

е винаги 0 (понеже инфимумът е винаги 0), а

горната сума

е винаги равна на дължината на интеграла, в който се интегрира (понеже супремумът е винаги равен на 1 и просто се събират дължините на отделните подинтервали).

За да съществува риманов интеграл, трябва двете стойности да са равни, т.е.:

Понеже долната и горната сума трябва да клонят към една и съща стойност, D(x) не е интегруема по Риман в нито един интервал.

Лебегов интеграл[редактиране | редактиране на кода]

Тъй като функцията на Дирихле е проста функция, т.е. приема само краен брой различни стойности, които освен това са неотрицателни, Лебеговият интеграл може да се пресметне по следния начин за произволен интеграл I:

,

където обозначава лебеговата мярка.

При която и да е стойност на умножението с 0 дава винаги резултат 0. Това следва от аксиома от теорията на мярката, дори когато другият множител е безкраен. Освен това е винаги 0, тъй като множеството на рационалните числа е изброимо.

Така че за всеки интервал I е изпълнено: