Четна и нечетна функция

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Четна е тази функция f, за която функцията от всеки определен аргумент (аргументи) е равна на същата функция от противоположния на този аргумент (аргументи), т.е.:

  • f(-x)= f(x);
  • f(-x1; -x2; ...; -xn)= f(x1; x2; ...; xn)

За да бъде една функция четна, е необходимо и достатъчно:

  • Едновременно х и да принадлежат на дефиниционната област на функцията(т.е. ако функцията може да се дефинира за х, то тя да може да се дефинира и за );
  • равенството f(-x)= f(x) да е изпълнено за всеки аргумент от дефиниционната област.

Някои четни функции[редактиране | edit source]

Четни функции са четните степени на всички числа (това кореспондира и с името на функцията : четната степен е четна функция, а нечетната - нечетна функция):

  • (-x)n=xn, където 2/n, n∈ℤ

-Също четни са и полиномите с мономи само от четни степени:

  • f(x)=a0x2n+a1x2(n-1)+ ... +an-1x2+an, (където n∈ℕ) ⇒ f(-x)=f(x);

-Тригонометричната функция косинус е единствената четна тригонометрична функция:

  • cos (-x)=cos x;

Графика на четна функция[редактиране | edit source]

Графиките на четните функции са симетрични спрямо ординатната ос.


Забележка: Четните и нечетните функции не са допълнителни една на друга, т.е., когато една функция не е четна, то не е задължително тя да е нечетна.

Нечетна Функция[редактиране | edit source]

Нечетна е тази функция f, за която функцията от всеки определен аргумент (аргументи) е противоположна на същата функция от противоположния на този аргумент (аргументи), т.е.:

  • f(-x)= -f(x);
  • f(-x1; -x2; ...; -xn)= -f(x1; x2; ...; xn)

За да бъде една функция нечетна, е необходимо и достатъчно:

  • Едновременно х и да принадлежат на дефиниционната област на функцията(т.е. ако функцията може да се дефинира за х, то тя да може да си дефинира и за );
  • равенството f(-x)= -f(x) да е изпълнено за всеки аргумент от дефиниционната област;

Някои нечетни функции[редактиране | edit source]

Нечетни функции са нечетните степени на всички числа (това кореспондира и с името на функцията : нечетната степен е нечетна функция, а четната - четна функция ):

  • (-x)2n+1=-x2n+1, където n∈ℤ;

-Също нечетни са и полиномите от нечетни степени:

  • f(x)=a0x2n+1+a1x2(n-1)+1+ ... +an-1x3+anх, (където n∈ℕ) ⇒ f(-x)=-f(x);

-Всички тригонометрични функции освен функцията косинус и косеканс(които са четни), са нечетни ( виж тригонометрична функция ):

  • sin (-x)=-sin x;
  • tg (-x)=-tg x;
  • cotg (-x)=-cotg x;

Графика на нечетна функция[редактиране | edit source]

Графиките на нечетните функции са симетрични спрямо началото на координатната система.

Левият клон на графиката (този, който отговаря на f(-|x|) и е разположен във II и III квадрант на координатната система) се получава от десния чрез ротация на 180° с център началото на координатната система (или чрез последователно прилагане на симетрия спрямо координатните оси)


Забележка: Четността и нечетността на функциите не са допълнителни едно на друго понятия, т.е., когато една функция не е четна, то не е задължително тя да е нечетна.

Единствената функция, която е едновременно и четна, и нечетна, е f(x)=0.