Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици): Разлика между версии

Изтрито е съдържание Добавено е съдържание

Линейно

Версия от 18:08, 11 януари 2010

Теоремата на Болцано - Вайерщрас (за безкрайните редици) гласи, че: Всяка безкрайна и ограничена редица $r:\mathbb {N} \to \mathbb {R}$ притежава сходяща подредица.

Доказателство

Нека $r:\mathbb {N} \to \mathbb {R}$ и $\forall n\in \mathbb {N} \;\;a\leq r_{n}\leq b$ Ако $r$ има точка на сгъстяване $l$ , то очевидно $l\in \left[a;b\right]$ .

Да допуснем, че $r$ няма точка на сгъстяване. Тогава $\forall x\in \left[a;b\right]\exists$ околност $U_{x}$ на $x$ , такава че $U_{x}$ съдържа само краен брой членове на $r$ .

Тогава обединението $\Omega =\cup U_{x}$ е покритие на интервала $\left[a;b\right]$ . От теоремата на Хайне - Борел следва, че $\Omega$ има крайно подпокритие $\Omega ^{\prime }$ , състоящо се от краен брой интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на $r$ . Но $r$ има безбройно много членове в интервала $\left[a;b\right]$ , което е противоречие и следователно $r$ има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана.

Тази теорема е доказана от чешкия математик Болцано през 1817 г., а по-късно независимо от него е получена от Вайерщрас. Тя е една от основните теореми в математическия анализ.

Версия от 10:10, 26 ноември 2009 редактиране Vekov (беседа \| приноси) Автоматично патрулирани 5637 редакции мРедакция без резюме ← По-стара редакция		Версия от 18:08, 11 януари 2010 редактиране връщане BloodFire (беседа \| приноси) Ботове 108 034 редакции м Правописни грешки По-нова редакция →
Ред 10:		Ред 10:
	Тогава обединението <math>\Omega = \cup U_x </math> е покритие на интервала <math>\left[ a;b \right]</math>. От теоремата на Хайне - Борел следва, че <math>\Omega</math> има крайно подпокритие <math>\Omega ^ \prime</math>, състоящо се от краен брой интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на <math>r</math>. Но <math>r</math> има безбройно много членове в интервала <math>\left[ a;b \right]</math>, което е противоречие и следователно <math>r</math> има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана.		Тогава обединението <math>\Omega = \cup U_x </math> е покритие на интервала <math>\left[ a;b \right]</math>. От теоремата на Хайне - Борел следва, че <math>\Omega</math> има крайно подпокритие <math>\Omega ^ \prime</math>, състоящо се от краен брой интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на <math>r</math>. Но <math>r</math> има безбройно много членове в интервала <math>\left[ a;b \right]</math>, което е противоречие и следователно <math>r</math> има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана.

	Тази теорема е доказана от ~~чехския~~ математик Болцано през 1817 г., а по-късно независимо от него е получена от Вайерщрас. Тя е една от основните теореми в математическия анализ.		Тази теорема е доказана от чешкия математик Болцано през 1817 г., а по-късно независимо от него е получена от Вайерщрас. Тя е една от основните теореми в математическия анализ.