Диференциал (математика): Разлика между версии
м r2.7.1) (Робот Изтриване: cs:Diferenciál (matematika) |
мРедакция без резюме |
||
Ред 1: | Ред 1: | ||
{{към пояснение|диференциал}} |
{{към пояснение|диференциал}} |
||
'''Диференциал''' е понятие в [[математически анализ|математическия анализ]], въведено от [[Готфрид Лайбниц|Лайбниц]] и [[Якоб Бернули|Бернули]] като описание на така наречените "безкрайно малки величини" и "безкрайно малки промени". Лайбниц и Бернули въвеждат означението <math>\mathrm{d}x\,</math> за '''диференциал''' на променливата <math>x\,</math>. Понятието диференциал, което на времето се е считало за едно от основните понятия на диференциалното и интегралното смятане, днес играе второстепенна роля в анализа. В известен смисъл, особено що се отнася до диференциалното смятане на функциите на една променлива, може да се каже, че неговото въвеждане изобщо не е необходимо. Понятието [[производна]] се оказва напълно достатъчно, за да бъдат формулирани всички по-съществени резултати от тази част на |
'''Диференциал''' е понятие в [[математически анализ|математическия анализ]], въведено от [[Готфрид Лайбниц|Лайбниц]] и [[Якоб Бернули|Бернули]] като описание на така наречените "безкрайно малки величини" и "безкрайно малки промени". Лайбниц и Бернули въвеждат означението <math>\mathrm{d}x\,</math> за '''диференциал''' на променливата <math>x\,</math>. Понятието диференциал, което на времето се е считало за едно от основните понятия на диференциалното и интегралното смятане, днес играе второстепенна роля в анализа. В известен смисъл, особено що се отнася до диференциалното смятане на функциите на една променлива, може да се каже, че неговото въвеждане изобщо не е необходимо. Понятието [[производна]] се оказва напълно достатъчно, за да бъдат формулирани всички по-съществени резултати от тази част на анализа. |
||
Нека <math>f(x)\,</math> е [[функция]] , дефинирана в някоя околност на дадена точка <math>x\,</math>. |
Нека <math>f(x)\,</math> е [[функция]] , дефинирана в някоя околност на дадена точка <math>x\,</math>. |
||
Изменението на стойността на дадена величина може да се означи с <math>\Delta x</math>. Когато обаче промяната е много малка, тя се обозначава с <math>\mathrm{d}x</math>, което представлява удобство от практическа гледна точка, понеже: |
Изменението на стойността на дадена величина може да се означи с <math>\Delta x</math>. Когато обаче промяната е много малка, тя се обозначава с <math>\mathrm{d}x</math>, което представлява удобство от практическа гледна точка, понеже: |
Версия от 20:24, 13 юли 2011
- Вижте пояснителната страница за други значения на диференциал.
Диференциал е понятие в математическия анализ, въведено от Лайбниц и Бернули като описание на така наречените "безкрайно малки величини" и "безкрайно малки промени". Лайбниц и Бернули въвеждат означението за диференциал на променливата . Понятието диференциал, което на времето се е считало за едно от основните понятия на диференциалното и интегралното смятане, днес играе второстепенна роля в анализа. В известен смисъл, особено що се отнася до диференциалното смятане на функциите на една променлива, може да се каже, че неговото въвеждане изобщо не е необходимо. Понятието производна се оказва напълно достатъчно, за да бъдат формулирани всички по-съществени резултати от тази част на анализа. Нека е функция , дефинирана в някоя околност на дадена точка . Изменението на стойността на дадена величина може да се означи с . Когато обаче промяната е много малка, тя се обозначава с , което представлява удобство от практическа гледна точка, понеже:
- Производната по дефиниция е границата на диференчното частно, когато . Това позволява производната, която е равна по дефиниция на:
, да се запише по значително по-простия начин:
,
откъдето получаваме за диференциала на функцията f(x):
.
Това понятие се обобщава за функции с n реални променливи по следния начин:
.
- Това обозначение е удобно и при интегралното смятане. С израза:
се дава вярна представа за интеграла като сума от безкрайно малки изменения на функцията.
Интерпретация
Ако гледаме на диференциала като на функция на променливата , то той може да се интерпретира като приближение на нарастването на около точката със свойството:
Литература
- Математический анализ: Введение в анализ, производная, интеграл. Справочное пособие по высшей математике. Т.1, И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач, Едиториал УРСС, 2001