Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици): Разлика между версии
м r2.7.3) (Робот Добавяне: ar:مبرهنة بولزانو-ويرستراس |
|||
Ред 14: | Ред 14: | ||
[[Категория:Теореми|Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици)]] |
[[Категория:Теореми|Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици)]] |
||
[[ar:مبرهنة بولزانو-ويرستراس]] |
|||
[[az:Boltsano-Veyerştrass teoremi]] |
|||
[[ca:Teorema de Bolzano-Weierstrass]] |
|||
[[cy:Theorem Bolzano-Weierstrass]] |
|||
[[de:Satz von Bolzano-Weierstraß]] |
|||
[[en:Bolzano–Weierstrass theorem]] |
|||
[[es:Teorema de Bolzano-Weierstrass]] |
|||
[[et:Bolzano-Weierstrassi teoreem]] |
|||
[[fi:Bolzanon–Weierstassin lause]] |
|||
[[fr:Théorème de Bolzano-Weierstrass]] |
|||
[[he:משפט בולצאנו-ויירשטראס]] |
|||
[[hu:Bolzano–Weierstrass-tétel]] |
|||
[[is:Bolzano-Weierstrass setningin]] |
|||
[[it:Teorema di Bolzano-Weierstrass]] |
|||
[[ja:ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理]] |
|||
[[ko:볼차노-바이어슈트라스 정리]] |
|||
[[nl:Stelling van Bolzano-Weierstrass]] |
|||
[[pl:Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa]] |
|||
[[pt:Teorema de Bolzano-Weierstrass]] |
|||
[[ro:Teorema Weierstrass-Bolzano]] |
|||
[[ru:Теорема Больцано — Вейерштрасса]] |
|||
[[sv:Bolzano-Weierstrass sats]] |
|||
[[tr:Bolzano-Weierstrass teoremi]] |
|||
[[uk:Теорема Больцано — Вейєрштрасса]] |
|||
[[zh:波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理]] |
|||
[[zh-yue:波爾札奴-維爾斯打拉斯定理]] |
Версия от 12:50, 12 март 2013
Теоремата на Болцано - Вайерщрас (за безкрайните редици) гласи, че: Всяка безкрайна и ограничена редица притежава сходяща подредица.
Доказателство
Нека и Ако има точка на сгъстяване , то очевидно .
Да допуснем, че няма точка на сгъстяване. Тогава околност на , такава че съдържа само краен брой членове на .
Тогава обединението е покритие на интервала . От теоремата на Хайне - Борел следва, че има крайно подпокритие , състоящо се от краен брой интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на . Но има безбройно много членове в интервала , което е противоречие и следователно има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана.
Тази теорема е доказана от чешкия математик Болцано през 1817 г., а по-късно независимо от него е получена от Вайерщрас. Тя е една от основните теореми в математическия анализ.