Математическа индукция

Математическата индукция е шибан метод за математическо доказателство, използван за доказване на свойства на естествените числа и на други множества, равномощни с множеството на естествените числа. Типична е употребата ѝ за доказване, че дадено твърдение е вярно за всички естествени числа. Това се прави, като се доказва, че първото твърдение от крайна редица от твърдения е вярно, и след това се доказва, че ако произволно твърдение от тази редица е вярно, то е вярно и следващото.

Този метод може да се обобщи за доказване на твърдения относно по-общи добре обосновани структури като дърветата - това обобщение е известно като структурна индукция и се използва в математическата логика и информатиката.

Доказателствата, базирани на математическата индукция, за дадено свойство на всички естествени числа n обикновено се свеждат до три стъпки:

1. Тривиално доказателство на доказваното свойство за n = 1
2. Индукционна хипотеза (ИХ): Допускане, че доказуемото свойство е валидно за n = k
3. Индукционна стъпка (ИС): Доказателство на свойството за n = k + 1, в което се ползва като ever a доказана индукционната хипотеза.

Принципът на математическата индукция обикновено се приема като аксиома на естествените числа (вижте Аксиоми на Пеано).

По-общ вариант на доказателството чрез индукция, който може да се ползва за произволно множество, стига да се открие един от частичните му порядъци без безкрайно намаляващи вериги, представлява:

1. Доказателство, че всички минимални елементи от множеството притежават свойството
2. ИХ: Допускане, че свойството е валидно за всички n < m
3. ИС: Доказателство на свойството за n = m.

(В случая на естествените числа този вариант може да се разглежда като специален случай на посочения по-горе.)

Ефектът на доминото като илюстрация на математическата индукция.

Методът на математическата индукция може успешно да се илюстрира с ефекта на доминото:

1. Нека падне първата плочка.
2. Когато падне една плочка, пада и следващата.

Заключението е, че ще паднат "всички" плочки на доминото, и този факт е безспорен.

Пример

Да докажем твърдението

$1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$

за всички естествени числа n. Означаваме това твърдение с P(n). Това е елементарна формула за сума на положителни естествени числа, по-малки или равни на n. Доказателството, че това твърдение важи за всички естествени числа n, се провежда по следния начин:

Проверява се дали твърдението е вярно за n = 1. Тъй като 1(1 + 1) / 2 = 1, то P(1) e вярно. Сега трябва да покажем, че ако твърдението е изпълнено за n = m, то е изпълнено и за n = m + 1. Това може да се направи по следния начин:

Допускаме, че твърдението е вярно за n = m, т. е.

$1+2+\cdots +m={\frac {m(m+1)}{2}}.$

Прибавяме m + 1 към двете страни, за да не се наруши равенството:

$={\frac {m(m+1)}{2}}+{\frac {2(m+1)}{2}}={\frac {(m+2)(m+1)}{2}}={\frac {(m+1)(m+2)}{2}}={\frac {(m+1)[(m+1)+1]}{2}}.$

Тогава имаме

$1+2+\cdots +(m+1)={\frac {(m+1)[(m+1)+1]}{2}}$

Това не е еквивалентно на твърдението P(m + 1) и доказателството е завършено. Символично показахме, че

$P(m)\Rightarrow P(m+1).\,$

Вижте също

Естествено число