Обратима матрица

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Дадена квадратна матрица \mathbf{A} се нарича обратима или още неособена, ако съществува квадратна матрица \mathbf{A}^{-1} от същия ред, такава че \mathbf{A}.\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1}.\mathbf{A} = E_n, където E_n е единичната матрица. Матрицата A^{-1} се нарича обратна на A.

Ефикасен метод за намиране на обратната матрица на дадена матрица е метода с адюнгираните количества. По този метод, аналитичната формула за обратната матрица е:

\mathbf{A}^{-1}={1 \over \operatorname{det}\mathbf{A}} \left(\mathbf{C}_{ij}\right)^{\mathrm{T}}={1 \over \operatorname{det}\mathbf{A}}\left(\mathbf{C}_{ji}\right)={1 \over \operatorname{det}\mathbf{A}}
\begin{pmatrix}
\mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{21} & \cdots & \mathbf{C}_{j1} \\
\mathbf{C}_{12} & \mathbf{C}_{22} & \cdots & \mathbf{C}_{j2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\mathbf{C}_{1i} & \mathbf{C}_{2i} & \cdots & \mathbf{C}_{ji} \\
\end{pmatrix}

Където \mathbf{C}_{ij} = (-1)^{i+j} \operatorname{det}\mathbf{A}_{ij}\,, а \operatorname{det}\mathbf{A}_{ij}\, е детерминантата на матрицата \mathbf{A}, от която са махнати реда i и колоната j.

Свойства на неособените матрици[редактиране | edit source]

Нека A е квадратна матрица с n реда и n колони върху дадено поле K (например, полето на реалните числа - R). Следните свойства са еквивалентни:

  • A е неособена (обратима).
  • det A ≠ 0.
  • Единственото решение на уравнението Ax = 0 е x = 0
  • Уравнението Ax = b има единствено решение за дадено b \in K^n.
  • Колоните на A са линейно независими вектори.
  • Колоните на A са базис на K^n.
  • Линейното зачеванеx \leftarrow Ax е биекция от K^n към K^n.
  • Матрицата, получена с транспониране на A: AT също е неособена
  • Произведението на A с матрицата, получена с транспониране на A (AT × A) също е неособена
  • Нулата не е собствена стойност на A

Обратната на обратима матрица A също е обратима, с

\left(\mathbf{A}^{-1}\right)^{-1} = \mathbf{A} .

Обратната на обратима матрица, умножена по ненулева скаларна величинаk е равна на произведението на обратната матрица с обратната стойност на скалара:

\left(k\mathbf{A}\right)^{-1} = k^{-1}\mathbf{A}^{-1}.

За обратима матрица A, транспонираната на обратната е равна на обратната на транспоринарана:

(\mathbf{A}^\mathrm{T})^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^\mathrm{T} \,

Произведението на две неособени матрици A и B с еднакъв размер е също така обратимо, като обратната на произведението матрица е:

\left(\mathbf{AB}\right)^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}

(Важно е да се отбележи, че редът на множителите не е същият). Като следствие от това, множеството от неособени n × n матрици образува група, която се бележи с Gl(n).