Обратима матрица

Дадена квадратна матрица $\mathbf{A}$ се нарича обратима или още неособена, ако съществува квадратна матрица $\mathbf{A}^{-1}$ от същия ред, такава че $\mathbf{A}.\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1}.\mathbf{A} = E_n$, където $E_n$ е единичната матрица. Матрицата $A^{-1}$ се нарича обратна на $A$.

Ефикасен метод за намиране на обратната матрица на дадена матрица е метода с адюнгираните количества. По този метод, аналитичната формула за обратната матрица е:

$\mathbf{A}^{-1}={1 \over \operatorname{det}\mathbf{A}} \left(\mathbf{C}_{ij}\right)^{\mathrm{T}}={1 \over \operatorname{det}\mathbf{A}}\left(\mathbf{C}_{ji}\right)={1 \over \operatorname{det}\mathbf{A}} \begin{pmatrix} \mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{21} & \cdots & \mathbf{C}_{j1} \\ \mathbf{C}_{12} & \mathbf{C}_{22} & \cdots & \mathbf{C}_{j2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{C}_{1i} & \mathbf{C}_{2i} & \cdots & \mathbf{C}_{ji} \\ \end{pmatrix}$

Където $\mathbf{C}_{ij} = (-1)^{i+j} \operatorname{det}\mathbf{A}_{ij}\,$, а $\operatorname{det}\mathbf{A}_{ij}\,$ е детерминантата на матрицата $\mathbf{A}$, от която са махнати реда $i$ и колоната $j$.

Свойства на неособените матрици

Нека A е квадратна матрица с n реда и n колони върху дадено поле $K$ (например, полето на реалните числа - $R$). Следните свойства са еквивалентни:

• A е неособена (обратима).
• det A ≠ 0.
• Единственото решение на уравнението Ax = 0 е x = 0
• Уравнението Ax = b има единствено решение за дадено b $\in$ $K^n$.
• Колоните на A са линейно независими вектори.
• Колоните на A са базис на $K^n$.
• Линейното зачеванеx $\leftarrow$ Ax е биекция от $K^n$ към $K^n$.
• Матрицата, получена с транспониране на A: A^T също е неособена
• Произведението на A с матрицата, получена с транспониране на A (A^T × A) също е неособена
• Нулата не е собствена стойност на A

Обратната на обратима матрица A също е обратима, с

$\left(\mathbf{A}^{-1}\right)^{-1} = \mathbf{A}$.

Обратната на обратима матрица, умножена по ненулева скаларна величинаk е равна на произведението на обратната матрица с обратната стойност на скалара:

$\left(k\mathbf{A}\right)^{-1} = k^{-1}\mathbf{A}^{-1}$.

За обратима матрица A, транспонираната на обратната е равна на обратната на транспоринарана:

$(\mathbf{A}^\mathrm{T})^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^\mathrm{T} \,$

Произведението на две неособени матрици A и B с еднакъв размер е също така обратимо, като обратната на произведението матрица е:

$\left(\mathbf{AB}\right)^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$

(Важно е да се отбележи, че редът на множителите не е същият). Като следствие от това, множеството от неособени n × n матрици образува група, която се бележи с Gl(n).