Статистика на Бозе-Айнщайн

Бозе-Айнщайн статистиката описва начина на разпределение на частиците между квантовите състояния на система от невзаимодействащи, неразличими бозони.

Вълновата функция описваща система от бозони е симетрична откъм размяна на частици. Поради тази симетрия, бозоните не се подчиняват на Принципа на забраната на Паули, и броят бозони, които могат едновременно да са в дадено квантово състояние, е неограничен.

Бозе-Айнщайн статистиката изразява средния брой бозони, които заемат дадено квантово състояние на системата при дадени температура и химичен потенциал. Тя е въведена от Сатиендра Бозе през 1924 г., който я прилага върху фотони, а по-късно е обобщена от Айнщайн. .

Средният брой частици в квантово състояние $k$ е:

$\overline{n_k} = \frac{1}{e^{(\epsilon_k-\mu)/k_BT}-1}$

Където $\epsilon_k$ e енергията на квантовото състояние,$\mu$ e химичният потенциал, $k_B$ е константата на Болцман, а $T$ е температурата.

Понеже неравенството $\overline{n_k}\ge 0$ трябва да е изпълнено за всички $k$, включително за основното състояние, стойността на химичния потенциал трябва да е по-малка от енергията на основното състояние на системата:

$\mu < \epsilon_0$,

Където $\epsilon_0$ е енергията на основното състояние. Понеже нулата на енергийната скала може да бъде избрана свободно, често се прави изборът $\epsilon_0 \equiv 0$. В такъв случай горното ограничение става:

$\mu < 0$.

За сравнение, химичният потенциал на газ на Ферми може да бъде както положителен, така и отрицателен, а при Болцманов газ е силно отрицателен.

От формулата за $\overline{n_k}$ е видно, че с падане на температурата все по-голяма част от общия брой частици попада в основното състояние. При достатъчно ниска температура, броят частици в основното състояние е значителна фракция от общия брой. Това е Бозе-Айнщайнова кондензация.