Функционал

В математиката, функционал е изображение от линейно пространство на функции в съответното му поле, обикновено това са комплексните числа. С други думи, това е функция, която съпоставя на аргумент функция комплексно число. За първи път се използва във вариационното смятане, където се търси функцията, която минимизира даден функционал. Приложението му във физиката е да се търси такова състояние на система, което минимизира функционала на енергията.

Особен вид функционали, т.нар. линейни функционали се изучават в теорията на дуалните пространства.

Трансформацията на функции е по-общо понятие, виж оператор.

Примери [редактиране]

Дуалност [редактиране]

Да забележим, че изображението

$x_0\mapsto f(x_0)$

е функция. Тук $x_0$ е аргумента на функцията. Същевременно изображението на функция в стойността ѝ в дадена точка

$f\mapsto f(x_0)$

е функционал, тук $x_0$ е параметър.

Когато f е линейна функция от линейно пространство в съответното поле, горните линейни изображения са дуални едно на друго и във функционалния анализ се наричат линейни функционали.

Интеграл [редактиране]

Интеграли като например

$f\mapsto I[f]=\int_{\Omega} H(f(x),f'(x),\ldots)\;\mu(\mbox{d}x)$

оформят особен вид функционали. Те изобразяват функция f в реално число, при условие, че H приема реални стойности. Ето още примери

лицето под графиката на положителна фунцкия f

$f\mapsto\int_{x_0}^{x_1}f(x)dx$

Lp норма на функция

$f\mapsto \left(\int|f|^pdx\right)^{1/p}$

дължина на крива в n-мерно пространство

$f\mapsto \int_{x_0}^{x_1}\sqrt{1+|f'(x)|^2}dx$