Архимедова спирала

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Положителният клон на архимедова спирала и сектор M1OM2 от нея

Архимедова спирала е равнинна трансцендентна крива, която се дефинира като геометричното място на точка, движеща се с постоянна скорост v по лъч, който се върти около полюс О с постоянна ъглова скорост w.

Кривата е алгебрична спирала, тъй като уравнението ѝ в полярни координати е във вид на полином: , където . Състои се от два клона, съответстващи на положителните и отрицателните стойности на . Обикновено се изобразява само единият от тях.


Специфично за архимедовата спирала е, че разстоянието между всеки две съседни намотки е постоянно число, равно на . Радиусът на кривината на спиралата е: .

Кривата е наречена архимедова, тъй като първи я е изследвал Архимед във връзка с трисекцията на ъгъла и квадратурата на кръга. Архимед открива формулата за площта на сектора, което е един от първите примери за квадратура на криволинейна област. Площта на сектор M1OM2 се изчислява по формулата: , където е ъгълът между полярната ос и OM1, а е ъгълът между полярната ос и OM2, .

В края на 17 век спиралата бива и ректифицирана (Бонавентура Кавалиери, Жил де Робервал, Пиер дьо Ферма, Блез Паскал). Дължината на дъга от кривата, отговаряща на ъгъл се изчислява по формулата: .


Понякога под архимедова спирала се разбира по-голям клас спирали с общо параметрично уравнение , където традиционната архимедова спирала се получава при x = 1, a = 0. При това обобщение, други видове архимедови спирали са хиперболичната спирала, спиралата на Ферма и жезълът.

Използвани източници[редактиране | редактиране на кода]

  • "Математический энциклопедический словарь", Ю. В. Прохоров, "Советская энциклопедия", Москва, 1988
  • "Математическая энциклопедия" (5 тома), Изд. "Советская энциклопедия", 1985
  • "The Penguin Dictionary of Mathematics", John Daintith, R.D. Nelson, Penguin Books, 1989

Външни препратки[редактиране | редактиране на кода]