Бройна система

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Бройната система представлява символен метод за представяне на числата посредством ограничен брой (набор) символи, наречени цифри. Съществуват два вида бройни системи - непозиционни и позиционни.

Непозиционни бройни системи[редактиране | редактиране на кода]

Непозиционните бройни системи са тези, при които стойността на цифрата най-общо не зависи от нейното място (позиция) в записа на числото. Такива бройни системи са римската, гръцката, милетската бройна система и др.

В римската бройна система използваните цифри са М (1000), D (500), C (100), L (50), X (10), V (5), I (1). Там действа правилото: Когато тези цифри са написани в намаляващ ред на стойностите им, те се събират, а когато по-малък числов знак стои пред по-голям, те се изваждат - например VI = 5 + 1 = 6, IV = 5 - 1 = 4.

Гръцката бройна система, използвана главно за практически задачи, е десетична система с групиране по петици. Степените на 10 се означават с началните букви на съответните гръцки думи, като единиците се посочват с чертички, а групирането в петици се означава с буквата Γ пред числото. Например

ΓΔ = 50, ΓH = 500, ΓX = 5000, ΓM = 50 000.

Милетската бройна система е била предназначена за научни пресмятания и за означаване на цифрите са използвани 24 гръцки и 3 еврейски букви.

където Qk и Q−k са теглата на съответните цифри, a k — тяхната позиция в записа на числото.

Позиционни бройни системи[редактиране | редактиране на кода]

Позиционните бройни системи са тези, при които стойността на цифрата зависи от нейното място (позиция) в записа на числото, като тя се умножава с т.нар. тегловен коефицент. Той представлява основата на бройната система (например 2, 10 или 16), повдигната на степен нула - за най-младшия разряд и на степен, увеличаваща се с единица за всеки следващ по-старши разряд ("наляво"). При дробната част на числото (ако има такава) степента на нейния най-старши разряд (първият след запетаята) е -1, като аналогично на цялата част от числото, нараства по модул с единица (намалява с -1) в посока по-младшите разряди ("надясно").

Преобразуване[редактиране | редактиране на кода]

Всяко число може да бъде преобразувано от една бройна система в друга.

Двоична <--> десетична[редактиране | редактиране на кода]

I начин - стандартен[редактиране | редактиране на кода]

Пример: Имаме числото 101011 в двоична бройна система. За да го превърнем в десетична бройна система, трябва да сумираме тегловните коефициенти, умножени по цифрата на съответната позиция.

II начин - опростен[редактиране | редактиране на кода]

Пример: Имаме числото 101011 в двоична бройна система. За да го превърнем в десетична бройна система, сумираме само тегловните коефициенти, съдържащи единица.

Десетична -> двоична[редактиране | редактиране на кода]

За да превърнем число от десетична в двоична бройна система, трябва да го разделяме на 2, докато частното стане нула като записваме остатъците вдясно (ако числото не може да се дели на 2, записваме единица, а ако може - нула).
Пример: Преобразуване на 87 от десетична в двоична бройна система.

  • 87:2=43 => 1
  • 43:2=21 => 1
  • 21:2=10 => 1
  • 10:2=5 => 0
  • 5:2=2 => 1
  • 2:2=1 => 0
  • 1:2=0 => 1

След това, за да получим двоичното число, вземаме получените единици и нули, като резултатът от последното деление става най-старшият разряд на двоичното число, съответно - резултатът от първото деление - най-младшият: на числото 87 в десетична бройна система съответства 1010111 в двоична.

За да получим двоичен еквивалент на десетична дроб, последователно умножаваме по основата на бройната система (в случая 2) до достигане на желаната точност. При всяко умножаване цялата част на получения резултат се явява съответен разряд от двоичния еквивалент. В някои случаи точна десетична дроб не може да се получи и е налице остатък. В този случаи дробта се закръгля според изискваната от конкретния случай точност (максимално допустимата за случая грешка).

Пример : 0,386

  • 0,386*2 = 0,772 => 0
  • 0,772*2 = 1,544 => 1 (изваждаме единица)
  • 0,544*2 = 1,088 => 1 (изваждаме единица)
  • 0,088*2 = 0,176 => 0
  • 0,176*2 = 0,352 => 0
  • 0,352*2 = 0,704 => 0
  • 0,704*2 = 1,408 => 1 (изваждаме единица)
  • 0,408*2 = 0.816 => 0

За да получим числото, вземаме цялата част от всеки отговор от горе на долу и за числото 0,386 в десетична бройна система получаваме (с точност до осмия знак след запетаята) 0,01100010 в двоична.

Двоична <--> шестнадесетична и обратно[редактиране | редактиране на кода]

Най-лесно практически се осъществява чрез следната таблица за съответствие, използваща т.нар. тетради (четирицифрени двоични числа):

0000 - 0

0001 - 1

0010 - 2

0011 - 3

0100 - 4

0101 - 5

0110 - 6

0111 - 7

1000 - 8

1001 - 9

1010 - A

1011 - B

1100 - C

1101 - D

1110 - E

1111 - F

Пример : 0011101001110010(2)

  • Разделяме числото от най-младшия разряд към най-старшия ("от дясно наляво") на тетради (полубайтове - четири бита) и според таблицата на съответствие между двете броични системи получаваме 0011|1010|0111|0010 = 3A72. В случай, когато броят двоични цифри не е кратен на четири, за практическо удобство двоичното число се допълва откъм най-старшата цифра/бит ("отляво") с необходимия брой нули.

Двоичната бройна система и компютрите[редактиране | редактиране на кода]

Двоичната бройна система е от фундаментално значение за съвременната изчислителна техника, защото нейните две цифри 1 и 0 технически лесно могат да бъдат различени - по това дали в даден възел от електрическата/електронната верига протича или не протича ток, или е налице или не напрежение. От теоретична (и практическа) гледна точка електрическите/електронните вериги изградени на базата на двоична бройна система има най-високата възможна шумозащитеност, тъй като за да бъде прочетена/записана погрешно някоя цифра, нивото на евентуален смущаващ сигнал трябва да бъде (в повечето случаи) приблизително половината от захранващото напрежение на веригата. Също така 1 и 0 могат да се тълкуват логически като знаци за верни и неверни съждения. Двоичното представяне на числата е удобно за конструктивно изпълнение (хардуерна реализация) на пресмятанията, тъй като събирането и умножението се извършват по следните правила:

0+0=0; 0+1=1; 1+0=1; 1+1=10; 0.0=0; 0.1=0; 1.0=0; 1.1=1

Редица от 0 и 1 се нарича бинарен код (още - двоичен код).

Вижте също[редактиране | редактиране на кода]