Квадрат (алгебра)

5⋅5 или 5² (5 на квадрат) може да се изобрази графично с помощта на квадрат: всяко съставно квадратче представя една единица 1⋅1, а големият квадрат представя 5⋅5.

Квадратът на дадено число е алгебрична величина, равняваща се на произведението на числото със самото него. Действието, описващо получаването на този резултат, се нарича повдигане на квадрат и е идентично със степенуване на степен 2. Аналогично на другите форми на степенуване, повдигането на квадрат се обозначава с горен индекс 2 – например квадратът на 3 може да се запише като 3² и се равнява на числото 9. Важно свойство на повдигането на квадрат е, че квадратът на всяко число x е равен на квадрата на неговото противоположно число −x, като по този начин е изпълнено тъждеството x² = (−x)².

Числовата редица от квадратите на първите 50 цели числа (редица A000290 в ИЕЧР) има следния вид:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116 , 2209, 2304, 2401, 2500.

Исторически естествените числа от тази редица са били наричани „квадратни“.

Графика на квадратната функция $y=x^{2}$ при цели значения на $x$ в интервала от 1 до 25

Начини за представяне

Квадратът на естественото число $n$ може да се представи като:

• Сума от първите $n$ нечетни числа:
  

$n^{2}=\sum _{k=1}^{n}{(2k-1)}$
Примери:

1: $1=1$

2: $4=1+3$

3: $9=1+3+5$

4: $16=1+3+5+7$

5: $25=1+3+5+7+9$

6: $36=1+3+5+7+9+11$

7: $49=1+3+5+7+9+11+13$

…

• Сбор от числото и удвоената сума на естествените числа преди него:
  

$n^{2}=2\sum _{k=1}^{n-1}k+n=1+1+2+2+\ldots +(n-1)+(n-1)+n$
Примери:

1: $1=1$

2: $4=1+1+2$

3: $9=1+1+2+2+3$

4: $16=1+1+2+2+3+3+4$

5: $25=1+1+2+2+3+3+4+4+5$

6: $36=1+1+2+2+3+3+4+4+5+5+6$

…

Сумата от квадратите на първите $n$ естествени числа се изчислява по формулата:
$\sum _{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$