Метод на Нютон

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Методът на Нютон (или метод на Нютон-Рафсън) е алгоритъм, използван за намиране на приблизителни стойности на корените на реални функции. Той използва поредица от последователни все по-точни приближения, до достигане на търсената точност на решението. Започва се със стойност, относително близка до истинското решение. Функцията се замества с нейната тангента в тази точка и се изчислява стойността на аргумента, при която тангентата пресича нулевата линия. Тази точка се приема за нова изходна стойност и методът се повтаря итеративно.

Примери[редактиране | редактиране на кода]

Квадратен корен от число[редактиране | редактиране на кода]

Да разгледаме задачата за намиране на квадратен корен от число. Има много начини за изчисляването на корени и Нютоновият метод е един от тях.

Например, ако трябва да се намери квадратен корен от 612, това е еквиваленстно на намирането на решенията на

Тогава функцията, която ще използваме за метода на Нютон е

с производна,

С начална стойност 10, редицата получена по метода на Нютон е

Подчертаните цифри са коректни числа. Само с няколко итераци може да се намери решение, с точност много цифри след запетаята.

Решение на неполиномни уравнения[редактиране | редактиране на кода]

Да разгледаме задачата за намиране на положителното число x, удовлетворяващо уравнението cos(x) = x3. Можем да запишем израза така, когато търсим корените му: f(x) = cos(x) − x3. Имаме f'(x) = −sin(x) − 3x2. Тъй като cos(x) ≤ 1 за всяко x и x3 > 1 за x > 1. Знаем, че нашият корен се намира между 0 и 1. Ще опитаме със начална стойност x0 = 0.5. (Забележете, че при начална стойност 0 ще се получи неопределен резултат, което показва важността от използването на начална точка, която е близо до нулата.)

Верните числа са подчертани в примера по-горе. В частност x6 е с точност до всички показани позиции след запетаята. Виждаме, че броя на правилните числа след десетичната точка нарастват от 2 (за x3) до 5 и 10, показвайки квадратната сходимост.

Вижте още[редактиране | редактиране на кода]