Коренуване

Корен $n$-ти от числото $a$ в математиката се нарича такова число $b={\sqrt[{n}]{a}},$ че $b^{n}=a$. Символът ${\sqrt[{n}]{a}}$ се нарича радикал. Числото $n$ се нарича коренен показател (показател на корена), индекс или степен на корена. Той е естествено число, по-голямо или равно на 2, защото случаят $n=1$ е тривиален и не представлява интерес. Числото $a$ най-често е реално или комплексно число, но има и обобщения за други математически обекти, например остатъци, матрици и оператори. Изчисляването на корен от число се нарича коренуване.

В математическия анализ корените се считат за специален случай на степенуване, където степента е дроб: $\,{\sqrt[{n}]{x}}\,=\,x^{\frac {1}{n}}$.

Общоприето е корен 2-ри да се нарича квадратен корен, а корен 3-ти – кубичен корен. Обикновено показателят на квадратния корен не се записва и ако не е отбелязан, се подразбира $n=2$. Например:

• Квадратен корен от 9 са 3 и −3, защото 3² = 9 и (−3)² = 9, или ${\sqrt {9}}=\pm 3$.
• ${\sqrt[{3}]{\frac {8}{27}}}={\frac {2}{3}},$ защото $\left({\frac {2}{3}}\right)^{3}={\frac {8}{27}}.$

При всеки четен коренен показател се получават 2 корена, които са еднакви числа с обратни знаци, както се вижда от първия пример. За еднозначно определяне е въведено понятието аритметичен корен, чиято стойност винаги е неотрицателна, в първия пример това е числото 3.

Всяко реално или комплексно число има $n$ на брой комплексни корени. Корените от 0 са винаги 0.

Няма реални корени с четна степен от отрицателни числа. Винаги е възможно да се извлече корен с произволна степен от комплексно число, но резултатът не е еднозначно определен – комплексен $n$-ти корен от число, различно от нула има $n$ различни стойности.

Корените са особено важни в теорията на безкрайните редове. $n$-тите корени могат да бъдат дефинирани в областта на комплексните числа, а комплексните корени от 1 играят важна роля във висшата математика.

История

Първите задачи, свързани с извличането на квадратния корен, са намерени в трудовете на вавилонските математици. Сред тези задачи са:

Вавилонската табличка
(около 1800 – 1600 г. пр. н.е.) с изчисления ${\sqrt {2}}\approx 1+24/60+51/60^{2}+10/60^{3}$
$=1{,}41421296\dots$

• Приложението на теоремата на Питагор за намирането на страните на правоъгълен триъгълник по вече известни други две страни.
• Намирането на страните на квадрат с известна площ.
• Решаването на квадратни уравнения.

Вавилонските математици разработват специален числен метод за извличането на квадратен корен. Първоначалното приближение за ${\sqrt {a}}$ се изчислява, изхождайки от най-близкото до корена (от по-малката страна) естествено число $n$. Представяйки подкоренния израз във вида $a=n^{2}+r$, се получава $x_{0}=n+{\frac {r}{2n}}$, след което се използва повтарящ се процес за прецизност, съответстващ на метода на Нютон:

$x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\$

Итерациите в този метод имат много бърза сходимост. За ${\sqrt {5}}$, например, $a=5;\;n=2;\;r=1;\ x_{0}={\frac {9}{4}}=2{,}25,$ се получава последователно приближение:

$x_{1}={\frac {161}{72}}=2{,}23611;\;x_{2}={\frac {51841}{23184}}=2{,}2360679779$

Всичките цифри, освен последната, са верни.

Аналогични задачи и методи се срещат в древнокитайската „Математика в девет книги“. Древните гърци правят важното откритие, че ${\sqrt {2}}$ е ирационално число. Детайлно изследване, водено от Таетет Афински (IV век пр. н.е.), показва, че ако коренът на естествено число не е цяло число, то той ирационален.

Гърците формулират проблема за удвояването на куба, който се свежда до построяването на кубичен корен с помощта на линийка и пергел. Проблемът се оказва неразрешим. Алгоритмите за намирането на кубичния корен публикуват Херон (I век) и индийският математик Ариабхата (V в.).

Алгоритмите за извличане на корен от коя да е степен от цяло число, разработени от индийски и ислямски математици, са усъвършенствани в средновековна Европа. Епископът Николай Орем (род. 1330 год. Фльори Сюр Орн, кралство Франция - поч. 1382 год. Лизио, кралство Франция) първи изтълкува корена от $n$-та степен като повдигане на степен ${\frac {1}{n}}$.

След появяването на формулата на Кардано (XVI век) започва използването на имагинерни числа в математиката, считани за квадратните корени на отрицателните числа. Основите на техниката за работа с комплексни числа са разработени в началото на XIX век от Рафаел Бомбели, който предлага първоначалния метод за изчисляване с корени (с помощта на верижни дроби). Откриването на формулата на Моавър (1707 г.) показва, че намирането на корен от коя да е степен от комплексно число винаги е възможно и не води до нов тип числа.

Комплексните корени от произволна степен са дълбоко изследвани от Гаус в началото на XIX век, въпреки че първите резултати принадлежат на Ойлер.

Определение и свързани понятия

Освен приведеното по-горе, може да се дадат две равносилни определения на корена:

• Корен $n$-ти от число $a$ е решението $x$ на уравнението $x^{n}=a$ (имайки предвид, че решенията могат да са няколко или николко)
• Корен $n$-ти от число $a$ е коренът на многочлена $x^{n}-a$, тоест стойността $x$, при която даденият многочлен е равен на нула.

Операцията по изчисляването на ${\sqrt[{n}]{a}}$ се нарича извличане на корен $n$-ти от число $a$. Това е една от двете операции, обратни на степенуването, а именно – намирането на основата на степента $b$ по даден показател $n$ и резултата от степенуването $a=b^{n}$. Втората операция, логаритмуването, намира показателя на степента по известна основа и резултат.

Корени от реални числа

Корен $n$-ти от реално число $a$, в зависимост от четността $n$ и знака на $a$, може да има от 0 до 2 реални стойности.

Общи свойства

• Нечетен корен от положително число – положително число, еднозначно определено.

${\sqrt[{n}]{a}}=b$, където $a,b>0,\ n\in \mathbb {N} ,$$n$ – нечетно

Например, ${\sqrt[{3}]{125}}=5,\ {\sqrt[{5}]{32}}=2,\ {\sqrt[{15}]{1}}=1$

• Нечетен корен от отрицателно число – отрицателно число, еднозначно определено.

${\sqrt[{n}]{a}}=b$, където $a,b<0,\ n\in \mathbb {N} ,$$n$ – нечетно

Например, ${\sqrt[{3}]{-8}}=-2,\ {\sqrt[{5}]{-243}}=-3,\ {\sqrt[{7}]{-1}}=-1$

Графика на квадратния корен: на всяка стойност на $x$, освен нула, съответстват две стойности на корена $(y)$ с противоположни знаци.

• Четен корен от положително число има две стойности с противоположни знаци, но равни по модул.

${\sqrt[{n}]{a}}=\pm b$, където $a,b>0,\ n\in \mathbb {N} ,$$n$ – четно

Например, ${\sqrt {4}}=\pm 2,\ \ {\sqrt {9}}=\pm 3,\ \ {\sqrt[{4}]{81}}=\pm 3,\ \ {\sqrt[{10}]{1024}}=\pm 2$

• Четен корен от отрицателно число не съществува в областта на реалните числа, тъй като при повдигането на кое да е реално число на степен с четен показател, резултатът ще бъде неотрицателно число. Такъв корен обаче съществува в по-широката област на комплексните числа. По-долу е показано как се намират такива корени в комплексната числова система. Следователно, винаги трябва да се има предвид от коя числова система (реална или комплексна) се извлича коренът.

${\sqrt[{n}]{a}}$ не съществува, ако $a<0,\ n\in \mathbb {N} ,$$n$ – четно

• Какъвто и да е корен от нула е равен на нула.

${\sqrt[{n}]{0}}=0,$ където $n\in \mathbb {N}$

Аритметичен корен

Както е посочено по-горе, четните корени обикновено не са еднозначно дефинирани и този факт създава неудобства при тяхното използване. Затова е въведено практически важно ограничение на това понятие.

Графика на функцията на аритметичния квадратен корен

Аритметичният $n$-ти корен на неотрицателното реално число $a$ е неотрицателно число $b$, за което $b^{n}=a$. Аритметичният корен се обозначава със знака за корен.

По този начин, аритметичният корен, за разлика от общия (алгебричен) корен, е дефиниран само за неотрицателни реални числа, а неговата стойност винаги съществува и е еднозначна и неотрицателна. Например, квадратният корен от $4$ има две стойности: $2$ и $-2$, от които първата е аритметичният корен.

Алгебрични свойства

• Взаимно съкращаване на корен и степен – за нечетни $n$: ${\sqrt[{n}]{a^{n}}}=a$, за четни $n$: ${\sqrt[{n}]{a^{n}}}=|a|$
• Ако $a<b$, то и ${\sqrt[{n}]{a}}<{\sqrt[{n}]{b}}$

Корен от произведение е равен на произведението на корените от множителите му:

• ${\sqrt[{n}]{a}}b={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}$

Аналогично за деление:

• ${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}},\;b\neq 0$

Следващото равенство определя повдигането в дробна степен:

• $a^{m/n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=\left(a^{1/n}\right)^{m}$

Стойността на корена не се изменя, ако показателят му и степента на коренувания израз се разделят на едно и също число:

• ${\sqrt[{nk}]{a^{mk}}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}},\;n,k\in \mathbb {N} .$ Пример: ${\sqrt[{6}]{64}}={\sqrt[{2\cdot 3}]{4^{3}}}={\sqrt {4}}=2$
• ${\sqrt[{n}]{\sqrt[{k}]{a}}}={\sqrt[{nk}]{a}},\;n,k\in \mathbb {N}$

За нечетните корени може да се изведе допълнително свойство:

• ${\sqrt[{n}]{-a}}=-{\sqrt[{n}]{a}}$

Извличане на корен и повдигане на дробна степен

Операцията за степенуване първоначално е въведена като съкратен запис за умножение на естествени числа:

$~m^{n}=\underbrace {m\cdot m\cdot \dots \cdot m} _{n}\$ (n пъти).

Следващата стъпка е да се дефинира степенуване до произволно цяло число, включително отрицателна степен:

$~m^{-n}={\frac {1}{m^{n}}}.$

Операцията за извличане на аритметичен корен ни позволява да дефинираме повдигане на положително число на произволна рационална (дробна) степен:

$a^{\frac {m}{n}}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a^{m}}}}},\quad a>0.$

В този случай числителят $m$ на дробта ${\frac {m}{n}}$ може да има знак. Свойствата на разширената операция са основно същите като тези на повдигането на цяло число.

Това определение означава, че извличането на корена и неговият обратен показател по същество се комбинират в една алгебрична операция. По-специално:

$~{\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a}}}}=a^{\frac {1}{n}}.$

Опитите за рационализиране на отрицателни числа могат да доведат до грешки, тъй като стойността на алгебричния корен не е еднозначно дефинирана, а диапазонът от стойности на аритметичния корен е ограничен до неотрицателни числа. Пример за възможна грешка:

$-1=(-1)^{2\ \cdot \ {\frac {1}{2}}}=\left({(-1)^{2}}\right)^{\frac {1}{2}}=1^{\frac {1}{2}}={\color {blue}{\sqrt {\color {black}1}}}=1,$ което не е вярно.

Грешката възникна, защото неаритметичният квадратен корен е многозначна функция и не може да се използва в аритметични операции.

Опростен вид на коренния израз

Коренният израз е в опростен вид, ако:

1. Няма множител пред подкоренния израз, който може да бъде записан като степен, по-голяма или равна на показателя на корена.
2. Няма дроби под знака на корена.
3. Няма корен в знаменател.

Например, за да се запише коренният израз ${\sqrt {\tfrac {32}{5}}}$ в опростен вид, могат да се следват няколко стъпки. Първо се гледа под радикала за множител, който е идеален квадрат и се коренува:

${\sqrt {\tfrac {32}{5}}}={\sqrt {\tfrac {16\cdot 2}{5}}}=4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}.$

След това трябва да се премахне дробта под радикала, който се заменя с дроб от радикали:

$4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}.$

Накрая се премахва радикала от знаменателя, като се рационализира знаменателя:

${\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}={\frac {4}{5}}{\sqrt {10}}.$

Когато има корен в знаменател, винаги е възможно да се намери множител, с който да се умножат числителя и знаменателя, за да се опрости израза. Например при факторизацията на сумата на два кубични корена:

${\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{\left({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}\right)\left({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}\,.$

Опростяването на коренни изрази, включващи вложени радикали може да бъде много трудно. Например, не е очевидно, че

${\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}$

Горното равенство може да бъде изведено така:

${\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}={\sqrt {1+2{\sqrt {2}}+2}}={\sqrt {1^{2}+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}}}={\sqrt {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2}}}=1+{\sqrt {2}}.$

Нека $r=p/q$, където $p$ и $q$ са взаимно прости и положителни цели числа. Тогава ${\sqrt[{n}]{r}}={\sqrt[{n}]{p}}/{\sqrt[{n}]{q}}$ е рационално, ако и само ако и ${\sqrt[{n}]{p}}$, и ${\sqrt[{n}]{q}}$ са цели числа, което означава, че и $p$, и $q$ са $n$-ти степени на някое цяло число.

Функция на корена

• Графики на функции на корена
• 
  Функции на корена и обратните им степенни функции в интервала $[0;\ 1]$
• 
  Функции на корена:
  — четни индекси 2, 4, 6
  — нечетни индекси 3, 5, 7

Функцията на корена се отнася към алгебричните функции. Графиката на всяка функция на корена преминава през началото на координатната система и точката $(1;\ 1)$.

Тип на функцията на корена	Област на определение	Други свойства
Четен индекс	$[0;\ +\infty )$	Функцията е изпъкнала нагоре в цялата си област на определение.
Нечетен индекс	$(-\infty ;+\infty )$	Функцията е нечетна.

За всеки индекс коренната функция е строго нарастваща и непрекъсната навсякъде в областта си на определение. Тя е неограничено диференцируема навсякъде, освен в началните си координати, където производната се превръща в безкрайност. Производната се определя по формулата:

${\frac {d}{dx}}{\sqrt[{n}]{x}}={\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}}}.\quad$ В частност, ${\frac {d}{dx}}{\sqrt {x}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$.

Функцията е неограничено интегрируема навсякъде в областта си на определение. Неопределеният интеграл се намира по формулата:

$\int {\sqrt[{n}]{x}}\;dx={\frac {\sqrt[{n}]{x^{n+1}}}{1+{\frac {1}{n}}}}+C.\quad$ В частност, $\int {\sqrt {x}}\;dx={\frac {2{\sqrt {x^{3}}}}{3}}+C$, където $C$ е произволна константа.

Съотношения на границите

Някои полезни съотношения на граници, съдържащи корени:

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\ln n}}=1$

$\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\right)=\ln x$

$\lim _{x\to 0}{\frac {{\sqrt[{n}]{(x+1)^{m}}}-1}{x}}={\frac {m}{n}}$

$\lim _{n\to \infty }\left({\frac {{\sqrt[{n}]{a}}+{\sqrt[{n}]{b}}}{2}}\right)^{n}={\sqrt {ab}}$

Безкраен ред

Радикалната единица или коренът може да бъде представена чрез безкраен ред на Маклорен: $(1+x)^{s/t}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {s}{t}}-k\right)$,

където $|x|<1$. Този израз може да бъде изведен от биномиален ред.

N-тите корени се използват за проверка на сходимостта на степенен ред с радикалния признак на Коши.

Изчисляване на корени

Практическо изчисление на корен

Функциите за квадратен и кубичен корен са налични в много калкулатори; например, калкулаторът Windows показва съответните бутони в научен режим. Ако на електронния калкулатор има клавиш за повдигане на степен „$y^{x}$“, тогава извличането на корен от число се извършва в следния ред:

1. Въвежда се числото, което ще се коренува.
2. Натиска се клавиша „$y^{x}$“.
3. Въвежда се коренния показател.
4. Натиска се клавиша „$1/x$“.
5. Натиска се клавиша „$=$“.

За ръчни изчисления можете да се използва бързосходящия метод, описан в статията „Алгоритъм за намиране на N-ти корен“. За степени, по-големи от три, можете да се използва логаритмичното тъждество:

${\sqrt[{n}]{x}}=a^{\frac {\log _{a}(x)}{n}}=e^{\frac {\ln(x)}{n}}$

За да извлечете корена, намира се логаритъма на израза под радикала, разделя се на коренния показател и се намира антилогаритъма на резултата.

Използване на метода на Нютон

Корен n-ти от числото A може да се изчисли с метода на Нютон, който започва с начално предположение x₀ и след това се итерира, използвайки рекурентната формула

$$x_{k+1}=x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}$$

докато се достигне желаната точност. За изчислителна ефективност, рекурентната връзка обикновено се пренаписва

$$x_{k+1}={\frac {n-1}{n}}\,x_{k}+{\frac {A}{n}}\,{\frac {1}{x_{k}^{n-1}}}.$$

Това позволява да има само едно степенуване и да се изчисли веднъж завинаги първият делител на всеки член.

Например, за да намерим петия корен от 34, въвеждаме n = 5, A = 34 и x₀ = 2 (първоначално предположение). Първите 5 итерации са приблизително:

x₀ = 2

x₁ = 2,025

x₂ = 2,02439 7...

x₃ = 2,02439 7458...

x₄ = 2,02439 74584 99885 04251 08172...

x₅ = 2,02439 74584 99885 04251 08172 45541 93741 91146 21701 07311 8...

(Показани са всички правилни цифри.)

Приближението x₄ е с точност до 25 знака след десетичната запетая, а x₅ е – до 51 знака.

Методът на Нютон може да бъде модифициран, за да се получат различни обобщени непрекъснати дроби за n-тия корен. Например:

$${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}=x+{\cfrac {y}{nx^{n-1}+{\cfrac {(n-1)y}{2x+{\cfrac {(n+1)y}{3nx^{n-1}+{\cfrac {(2n-1)y}{2x+{\cfrac {(2n+1)y}{5nx^{n-1}+{\cfrac {(3n-1)y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}}.$$

Подходящо начално предположение за метода на Нютон може да се наложи да се определи с помощта на метода на бисекция или правилото на лъжливата позиция. За големи стойности на n и по-високи изисквания за точност, по-бърз алгоритъм от метода на Нютон за намиране на n-тия корен е използването на съкратен ред на Тейлър с апроксимация на Паде.

Изчисляване на главни корени на десетични числа (с основа 10) цифра по цифра

Триъгълникът на Паскал показва $P(4,1)=4$.

Надграждайки върху изчисляването на квадратен корен цифра по цифра, може да се види, че използваната там формула $x(20p+x)\leq c$, или $x^{2}+20xp\leq c$, следва модел, включващ триъгълника на Паскал. За $n$-тия корен на число $P(n,i)$, дефиниран като стойността на елемент $i$ в ред $n$ от триъгълника на Паскал, така че $P(4,1)=4$, може да се пренапише израза като ${\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}10^{i}P(n,i)p^{i}x^{n-i}}$. За удобство, резултатът от този израз ще бъде означен с $y$. Използвайки този по-общ израз, всеки положителен главен корен може да бъде изчислен цифра по цифра, както следва.

Запишете оригиналното число в десетична форма. Числата се записват подобно на алгоритъма за деление с дължина и, както при деление с дължина, коренът ще бъде записан на реда по-горе. Сега разделете цифрите на групи от цифри, равни на корена, който се взема, като започнете от десетичната запетая и продължите както наляво, така и надясно. Десетичната запетая на корена ще бъде над десетичната запетая на радикала. Една цифра от корена ще се появи над всяка група цифри на оригиналното число.

Започвайки с най-лявата група цифри, изпълнете следната процедура за всяка група:

1. Започвайки отляво, свалете надолу най-значимата (най-лявата) група цифри, които все още не са използвани (ако всички цифри са използвани, напишете $0$ толкова пъти, колкото са необходими за образуване на група) и ги запишете вдясно от остатъка от предишната стъпка (на първата стъпка няма да има остатък). С други думи, умножете остатъка по $10^{n}$ и добавете цифрите от следващата група. Това ще бъде текущата стойност $c$.
2. Намерете $p$ и $x$, както следва:
   • Нека $p$ е частта от корена, намерена досега, игнорирайки десетичната запетая. (За първата стъпка $p=0$ and $0^{0}=1$).
   • Определете най-голямата цифра $x$, такава че $y\leq c$.
   • Поставете цифрата $x$ като следващата цифра на корена, т.е. над групата цифри, които току-що сте извели. Така следващото $p$ ще бъде старото $p$ по 10 плюс $x$.
3. Извадете $y$ от $c$, за да образувате нов остатък.
4. Ако остатъкът е нула и няма повече цифри за изваждане, тогава алгоритъмът е приключил. В противен случай се върнете към стъпка 1 за друга итерация.

Примери

1) Намерете корен квадратен от 152,2756

1	2.	3	4
01	52.	27	56		(Резултати)	(Обяснение)
01					x = 1:	(100·1·00·12 + 101·2·01·11) ≤	1	< (100·1·00·22 + 101·2·01·21)
01					y = 1:	y = 100·1·00·12 + 101·2·01·11 = 1 + 0 = 1
	52.				x = 2:	(100·1·10·22 + 101·2·11·21) ≤	52	< (100·1·10·32 + 101·2·11·31)
	44.				y = 44:	y = 100·1·10·22 + 101·2·11·21 = 4 + 40 = 44
	08.	27			x = 3:	(100·1·120·32 + 101·2·121·31) ≤	827	< (100·1·120·42 + 101·2·121·41)
	07.	29			y = 729:	y = 100·1·120·32 + 101·2·121·31 = 9 + 720 = 729
		98	56		x = 4:	(100·1·1230·42 + 101·2·1231·41) ≤	9856	< (100·1·1230·52 + 101·2·1231·51)
		98	56		y = 9856:	y = 100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 = 16 + 9840 = 9856
00	00.	00	00

Алгоритъмът завършва. Отговор: 12,34

2) Намерете кубичния корен от 4192, съкратен до най-близката хилядна

1	6.	1	2	4
004	192.	000	000	000		(Резултати)	(Обяснение)
004						x = 1:	(100·1·00·13 + 101·3·01·12 + 102·3·02·11) ≤	4	< (100·1·00·23 + 101·3·01·22 + 102·3·02·21)
001						y = 1:	y = 100·1·00·13 + 101·3·01·12 + 102·3·02·11 = 1 + 0 + 0 = 1
003	192					x = 6:	(100·1·10·63 + 101·3·11·62 + 102·3·12·61) ≤	52	< (100·1·10·73 + 101·3·11·72 + 102·3·12·71)
003	096					y = 3,096:	y = 100·1·10·63 + 101·3·11·62 + 102·3·12·61 = 4 + 40 = 3,096
	096	000				x = 1:	(100·1·160·13 + 101·3·161·12 + 102·3·162·11) ≤	96,000	< (100·1·160·23 + 101·3·161·22 + 102·3·162·21)
	077	281				y = 77,281:	y = 100·1·160·13 + 101·3·161·12 + 102·3·162·11 = 1 + 480 + 76,800 = 77,281
	018	719	000			x = 2:	(100·1·1610·23 + 101·3·1611·22 + 102·3·1612·21) ≤	18,719,000	< (100·1·1610·33 + 101·3·1611·32 + 102·3·1612·31)
	015	571	928			y = 15,571,928:	y = 100·1·1610·23 + 101·3·1611·22 + 102·3·1612·21 = 8 + 19,320 + 15,552,600 = 15,571,928
	003	147	072	000		x = 4:	(100·1·16120·43 + 101·3·16121·42 + 102·3·16122·41) ≤	3,147,072,000	< (100·1·16120·53 + 101·3·16121·52 + 102·3·16122·51)

Желаната точност е постигната. Кубичният корен от 4,192 е 16,124...

Логаритмично изчисление

Главният $n$-ти корен на положително число може да се изчисли с помощта на логаритми. Започвайки от уравнението, което определя $r$ като $n$-ти корен на $x$, а именно $r^{n}=x$, където $x$ е положително и следователно главният му корен $r$ също е положителен, се логаритмуватт двете му страни при произволна основа $b$:

$$n\log _{b}r=\log _{b}x\quad ,\quad {\text{следователно}}\quad \quad \log _{b}r={\frac {\log _{b}x}{n}}.$$

Коренът $r$ се възстановява от това равенство чрез определяне на антилогаритъма:

$r=b^{{\frac {1}{n}}\log _{b}x}.$

(Забележка: Тази формула показва $b$, повдигнато на степен резултата от делението, а не $b$, умножено по резултата от делението.)

За случая, в който $x$ е отрицателно и $n$ е нечетно, има един реален корен $r$, който също е отрицателен. Той може да се намери, като първо се умножат двете страни на определящото уравнение с −1, за да се получи $|r|^{n}=|x|$, след което се процедира както преди, за да се намери $|r|$, и се определя корена $r=-|r|$.

Корени от комплексни числа

Пораждането на комплексните числа исторически е свързано с желанието за намирането на решение на квадратен корен от отрицателно число. Постепенно се изяснява, че комплексните числа притежават богати алгебрични и аналитични свойства – в частност, извличането на корен от тях винаги е възможно, макар и нееднозначно.

Означения

$z=x+iy,\ z\in \mathbb {C}$ — комплексно число,

$x=\operatorname {Re} (z)\in \mathbb {R}$ — реална (действителна) част на комплексното число,

$y=\operatorname {Im} (z)\in \mathbb {R}$ — имагинерна (мнима) част на комплексното число,

$i$ — имагинерна единица,

$r=|z|={\color {blue}{\sqrt {\color {black}{x^{2}+y^{2}}}}}$ — модул на комплексното число,

$\varphi =\operatorname {arg} z=\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}$ — аргумент на комплексното число,

$e$ — Неперово число.

Способи за намиране

Корен трети и корен шести от единица (съответно, върховете на триъгълника и на шестоъгълника).

Записва се комплексното число $z$ в тригонометричен вид:

$z=r\left(\cos {\varphi }+i\sin {\varphi }\right)$.

Тогава корен $n$-ти от $z$ се определя от формулата на Моавър (в тригонометричен вид):

${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),\;$

където$\ k=0,1,\dots ,n-1$

или в експоненциална форма:

$z=re^{i\varphi }$

${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{r}}e^{\left(i{\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right)},\;k=0,1,\dots ,n-1$

Корен $n$-ти от ненулево комплексно число има $n$ решения (това е следствие от основната теорема на алгебрата), като всичките са различни. Стойността на корена, получена при $k=0$, често се нарича главен корен.

Тъй като за всички решения на корена стойността на модула е еднаква, а се променя само неговият аргумент, всички решения $n$ на корена са разположени в комплексната равнина на окръжност с радиус ${\sqrt[{n}]{r}}$ с център в началото на координатната система. Корените разделят тази окръжност на $n$ равни части.

Примери

1) Да се намери ${\sqrt {-4}}$. Тъй като $-4=4(\cos {\pi }+i\sin {\pi }),$ по формулата се получава:

${\sqrt {-4}}=2\left(\cos {\frac {\pi +2\pi k}{2}}+i\sin {\frac {\pi +2\pi k}{2}}\right),\;k=0,1$

При $k=0$ се получава първия корен $2i$, а при $k=1$ се получава втория корен $(-2i).$

2) Да се намери ${\sqrt[{4}]{-16}}$. Подкоренният израз се представя в тригонометричен вид:

$-16=16\ (\cos(\pi +2k\pi )+i\sin(\pi +2k\pi ))$

По формулата на Моавър се получава:

$z_{k}={\sqrt[{4}]{-16}}={\sqrt[{4}]{16}}\left(\cos {\frac {\pi +2k\pi }{4}}+i\sin {\frac {\pi +2k\pi }{4}}\right)$

В резултат има четири решения на корена:

$z_{0}=2\left(\cos {\frac {\pi }{4}}+i\sin {\frac {\pi }{4}}\right)={\sqrt {2}}\ (1+i)$

$z_{1}=2\left(\cos {\frac {3\pi }{4}}+i\sin {\frac {3\pi }{4}}\right)={\sqrt {2}}\ (-1+i)$

$z_{2}=2\left(\cos {\frac {5\pi }{4}}+i\sin {\frac {5\pi }{4}}\right)=-{\sqrt {2}}\ (1+i)$

$z_{3}=2\left(\cos {\frac {7\pi }{4}}+i\sin {\frac {7\pi }{4}}\right)={\sqrt {2}}\ (1-i).$

Може да се запише общ отговор във вида: ${\sqrt[{4}]{-16}}={\sqrt {2}}\ (\pm 1\pm i).$

Квадратни корени

Квадратните корени на $i$

Двата квадратни корена на комплексно число винаги са противоположни един от друг. Например, квадратните корени на −4 са 2i и −2i, а квадратните корени на i са

${\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\quad {\text{и}}\quad -{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}.$

Ако се изрази комплексно число в полярна форма, тогава квадратният корен може да се получи, като се вземе квадратния корен от радиуса и се раздели ъгъла наполовина:

${\sqrt {re^{i\theta }}}=\pm {\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}.$

Главен корен на комплексно число може да бъде избран по различни начини, например

${\sqrt {re^{i\theta }}}={\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2},$

което въвежда разклонение, разрязано в комплексната равнина по положителната реална ос с условието 0 ≤ θ < 2π, или по отрицателната реална ос с $\quad$ −π < θ ≤ π.

Използвайки първото (последното) разклонение, главният квадратен корен $\scriptstyle {\sqrt {z}}$ преобразува ${\displaystyle \scriptstyle z}$ в полуравнината с неотрицателна имагинерна (реална) част. Последното разклонение се предполага в математически софтуер като MATLAB или Scilab.

Корени от единица

Трите трети корена от 1

Числото 1 има $n$ различни $n$-ти корена в комплексната равнина, а именно

$1,\;\omega ,\;\omega ^{2},\;\ldots ,\;\omega ^{n-1},$

където

$\omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right).$

Тези корени са равномерно разположени около единичната окръжност в комплексната равнина, под ъгли, кратни на $2\pi /n$. Например, квадратните корени от единица са 1 и −1, а четвъртите корени от единица са 1, $i$, −1 и $-i$.

n-ти корени

Геометрично представяне на корените от 2-ри до 6-ти на комплексно число $z$, в полярна форма $re^{i\varphi }$, където $r=|z|$ и $\varphi =\arg z$. Ако $z$ е реално число, $\varphi =0$ или $\pi$. Главните корени са показани в черно.

Всяко комплексно число има $n$ различни $n$-ти корени в комплексната равнина. Това са

$\eta ,\;\eta \omega ,\;\eta \omega ^{2},\;\ldots ,\;\eta \omega ^{n-1},$

където $\eta$ е единичен $n$-ти корен, а 1, ω, ω², ... ωⁿ⁻¹ са $n$-тите корени от единица. Например, четирите различни четвърти корена на 2 са

${\sqrt[{4}]{2}},\quad i{\sqrt[{4}]{2}},\quad -{\sqrt[{4}]{2}},\quad {\text{и}}\quad -i{\sqrt[{4}]{2}}.$

В полярна форма, единичен $n$-ти корен може да се намери от формулата на Моавър:

$z^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{re^{i\theta }}}={\sqrt[{n}]{r}}\cdot e^{i\theta /n}=r^{\frac {1}{n}}\cdot \left(\cos {\frac {\theta }{n}}+i\sin {\frac {\theta }{n}}\right).$

Тук $r$ е големината (модулът, наричан още абсолютна стойност) на числото, чийто корен трябва да се вземе; ако числото може да се запише като $a+ib$, тогава $r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$; $\quad \theta$ е ъгълът, образуван при завъртане от началото на координатната система обратно на часовниковата стрелка от положителната хоризонтална ос към лъч, водещ от началото към числото; той има свойствата, че

$\cos \theta ={\frac {a}{r}},\quad \sin \theta ={\frac {b}{r}}\quad {\text{ и }}\quad \tan \theta ={\frac {b}{a}}.$

По този начин намирането на $n$-ти корени в комплексната равнина може да се раздели на две стъпки. Първо, големината на всички $n$-ти корени е $n$-тият корен от големината на оригиналното число. Второ, ъгълът между положителната хоризонтална ос и лъч от началото до един от $n$-тите корени е $\theta /n$, където $\theta$ е ъгълът, дефиниран по същия начин за числото, чийто корен се взема. Освен това, всички $n$ от $n$-тите корени са разположени на равни ъгли един спрямо друг, както е доказано от теоремата за $n$-тите корени

${\sqrt[{n}]{r}}\cdot \left(\cos {\frac {\theta +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\theta +2\pi k}{n}}\right)\quad {\text{ за }}k=0,1,2,\ldots ,n-1.$

Ако $n$ е четно, $n$-тите корени на комплексно число, от които има четен брой, се представят в адитивни противоположни двойки, така че ако $r_{1}$ е един от $n$-тите корени, тогава $r_{2}=-r_{1}$ е друг. Това е така, защото повдигането на коефициента −1 на последния на $n$-та степен за четни $n$ дава $1$, т.е. ${(-r_{1})}^{n}={(-1)}^{n}\cdot {r_{1}}^{n}={r_{1}}^{n}$.

Както при квадратните корени, формулата по-горе не дефинира непрекъсната функция върху цялата комплексна равнина, а вместо това има разклонение, разрязано в точки, където $\theta /n$ е прекъснато.

Комплексна функция на корена и Риманова повърхнина

Разглежда се комплексната функция на корен $n$-ти: $w={\sqrt[{n}]{z}}.$ Според написаното по-горе, тази функция е многозначна (по-точно $n$-значна) и това създава неудобства при изследването и приложението ѝ. В комплексния анализ вместо да се разглеждат многозначни функции в комплексна равнина, е взето друго решение – функцията да се разглежда като еднозначна, но определена не в равнината, а в по-сложно многообразие, наречено Риманова повърхнина.

Риманова повърхнина за комплексен квадратен корен

Риманова повърхнина за комплексен
корен 4-ти

Римановата повърхнина на комплексната функция на корен $n$-ти се състои от $n$ листа, свързани винтообразно, като последният лист е свързан с първия. Тази повърхност е непрекъсната и цялостна (простосвързана). Един от листовете съдържа главните решения на корена, получени като аналитично продължение на реалния корен от положителния лъч на реалната ос.

Единствената нула при функцията (от първи ред) се получава при $z=0$. Особените точки са $z=0$ и $z=\infty$ (сингулярни точки или точки на разклонение от безкраен ред). Наличието на точка на разклонение при нула означава, че всеки затворен контур, който включва нула, неизбежно преминава от един лист към друг.

Поради своята простосвързаност, Риманова коренова повърхност е универсалното покритие за комплексната равнина без точката $0$.

Решаване на полиноми

Вижте също: Числено решение на уравнения

Веднъж е било изказано предположение, че всички полиномни уравнения могат да бъдат решени алгебрично (т.е., че всички корени на полином могат да бъдат изразени чрез краен брой радикали и елементарни операции). Въпреки че това е вярно за многочлени (полиноми) от трета степен (кубични) и многочлени от четвърта степен (квадратични), теоремата на Абел–Руфини (1824 г.) показва, че това не е вярно като цяло, когато степента е 5 или по-голяма. Например, решенията на уравнението

$x^{5}=x+1$

не могат да бъдат изразени чрез радикали. (виж уравнение от пета степен)

Доказателство за ирационалност на корена

Коренът от дадено число е ирационален, ако то не е перфектна степен, чиито степенен показател точно се дели на коренния показател. Числото $x$ е перфектна степен спрямо $n$, ако $x=a^{m}$ и $m$ точно се дели на $n$ без остатък, т. е. $m=k\cdot n\quad {\text{за }}k=1,2,3,\ldots$ – степенният показател на подкоренната величина е кратен на коренния показател. Например, ${\sqrt[{2}]{16}}=4$ е рационално число, защото $n=2$, $\quad 16=2^{4}$, $\quad m=4=2\cdot n$. Но ${\sqrt[{3}]{16}}=2,519842\ldots$ е ирационално число, защото $n=3$, $\quad 16=2^{4}$ и 4 не е кратно на 3.

Да приемем, че ${\sqrt[{n}]{x}}$ е рационално число, т.е. може да се редуцира до дроб ${\sqrt[{n}]{x}}={\frac {a}{b}}$, където $a$ и $b$ са цели числа без общ делител.

Следователно, $x={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$.

Тъй като $x$ е цяло число, $a^{n}$ и $b^{n}$ трябва да споделят общ делител, ако $b\neq 1$. Това означава, че ако $b\neq 1$, ${\frac {a^{n}}{b^{n}}}$ не е в най-простата форма. Следователно $b$ трябва да е равно на 1.

Тъй като $1^{n}=1$ и ${\frac {n}{1}}=n$, ${\frac {a^{n}}{b^{n}}}=a^{n}$.

Това означава, че $x=a^{n}$ и следователно, ${\sqrt[{n}]{x}}=a$. Това означава, че ${\sqrt[{n}]{x}}$ е цяло число. Тъй като $x$ не е точна $n$-та степен, това е невъзможно. Следователно ${\sqrt[{n}]{x}}$ е ирационално.

Вижте също

• Квадратен корен
• Целочислен квадратeн корен
• Методи за изчисляване на квадратни корени
• Кубичен корен
• Корен дванадесети от две
• Средногеометрична стойност
• Степенуване
• Логаритмуване

Източници и бележки

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Корень (математика)“ и страницата nth root в Уикипедия на руски и английски език. Оригиналните текстове, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за творби, създадени преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналните страници тук и тук, за да видите списъка на техните съавтори. ​ ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.