Квадратен корен

Квадратен корен от числото $a$ в математиката е такова число $y$ , че $y^{2}=a$ , т. е. число $y$ , чийто квадрат е $a$ .^[1] Например, 4 и −4 са квадратни корени на 16, защото 4² = (−4)² = 16. Всяко неотрицателно реално число $a$ има един-единствен неотрицателен квадратен корен, който се означава с ${\sqrt {a}}$ , където ${\sqrt {}}$ се нарича корен или радикал. Така квадратният корен на 9 е 3, което се записва като √9 = 3, защото 3² = 3.3 = 9 и 3 е неотрицателно.

Всяко положително число $a$ има два квадратни корена: ${\sqrt {a}}$ , който е положителен, и $-{\sqrt {a}}$ , който е отрицателен. Заедно, те се обозначават като $\pm {\sqrt {a}}$ . Въпреки че стойностите са две, обикновено под „квадратен корен“ се разбира положителната стойност. За положително $a$ , квадратният корен може да бъде записан и в степенуван вид: $a^{1/2}$ .^[2]

Квадратните корени на отрицателните числа могат да бъдат изследвани в областта на комплексните числа. В по-общ смисъл, квадратните корени могат да бъдат взети предвид във всеки контекст, където се „повдига на квадрат“ (включително матрици и други и математически обекти). В алгебрата и математическия анализ, в пръстена или полето $A$ , корен квадратен от $a$ е всеки елемент от $A$ , чийто квадрат е $a$ . Например, в полето на комплексните числа ℂ се казва, че $i$ (или $-i$ ) е корен квадратен от −1. В зависимост от естеството на пръстена и стойността на $a$ , можем да се намерят 0, 1, 2 или повече от 2 квадратни корена от $a$ .

Намирането на квадратен корен от число или извличането на квадратен корен води до появата на множество алгоритми. Фактът, че квадратният корен от естествено число не е квадратът на цяло число, довежда до първото осъзнаване на съществуването на ирационални числа. Търсенето на квадратни корени от отрицателни числа довежда до изобретяването на комплексни числа.

История

Историята на квадратния корен започва около 20-ти век пр. н.е. Първото му известно представяне датира от 17-ти век пр. н.е. Стойността на квадратния корен от две е изчислена приблизително в Индия през 8-ми век пр. н.е. и в Китай през 2-ри век пр. н.е. Между тези два периода гърците демонстрират неговата ирационалност.

Математици се сблъскват с тези проблеми от началото на писмеността в Месопотамия (1700 г. пр. н.е.). Те остават плодотворни до 19-ти век и запазват образователната си стойност.

Най-старият известен квадратен корен се появява около 1700 г. пр. н.е. Съществува запазена глинена плочка YBC 7289 от вавилонско време, датирана между 1800 и 1600 г. пр. н. е., показваща ${\sqrt {2}}$ и ${\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$ .

Това е представяне на квадрат с числото 30 от едната страна и приблизителна стойност ${\sqrt {2}}$ по диагонала.^[3] Писанията са мерни единици, особено по диагонала. Оригиналните символи на клинописното писмо са в шестдесетичната система, а в десетична система имат следния смисъл:

1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ ^[4] = ~ 1,41421296

В Древна Индия повдигането на квадрат и квадратният корен са били познати преди около 800 – 500 г. пр. н. е.

Древните гърци са знаели, че квадратните корени на положителните цели числа, които не са перфектни квадрати са винаги ирационални числа, т.е. числа, които не могат да се изразят като съотношение на две цели числа. Това е описано в трактата „Елементи“ на Евклид.^[5] Специално √2 се счита, че датира от по-ранното питагорейство. Резултатът е точната дължина на диагонала на квадрат със страна 1.

Символ за квадратен корен, изписван като украсено R, е измислен от Йохан Региомонтан. Символът √ за квадратен корен е отпечатан за пръв път през 1525 г. в труд на Кристоф Рудолф.^[6]

Квадратният корен е класически въпрос в историята на науката. Той позволява да се проследи действителното действие на откритията, тяхното забравяне или тяхното предаване. Някои представяния ограничават разбирането (епистемологични пречки), други насърчават спекулациите (техники, социална организация, религия, философия и др.); но отвъд своя напредък, всяко общество има свой собствен начин за решаване на математически задачи. За да се осъзнае това, нищо не може да се сравни със съвременен цитат, дори и преведен, за откриване на различни и често много сложни техники. Квадратният корен е много добре дефиниран математически обект, който позволява да се направи кратко пътешествие през пространството и времето чрез следите, които е оставил след себе си.

Свойства и приложение

Функцията на квадратен корен f(x) = √x изразява множеството неотрицателни реални числа. От геометрична гледна точка, функцията на квадратен корен изразява площта на квадрат, съотнесена към страната му.

Квадратният корен на $x$ е рационален само тогава, когато $x$ е рационално число, което може да бъде представено като съотношение на два идеални квадрата. Функцията на квадратния корен изразява рационалните числа като алгебрични.

За всички реални числа $x$

{\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\mbox{ако }}\ \ x\geq 0\\-x,&{\mbox{ако }}\ \ x<0\end{cases}}

(виж абсолютна стойност).

За всички неотрицателни реални числа $x$ и $y$ ,

{\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}\ \

и

{\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}\ \

(тук

y\neq 0

).

Функцията на квадратния корен $f(x)={\sqrt {x}}=x^{1/2}$ е непрекъсната за всички неотрицателни $x$ и диференцируема за всички положителни $x$ . Тя се диференцира по правилото за степенна функция

f'(x^{n})=nx^{n-1}

при

n={\frac {1}{2}}

и нейната първа производна се получава във вида:

f'(x)={\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.

Редът на Тейлър на √1 + x при x = 0 е сходящ за |x| ≤ 1 и се извежда така:

{\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+\textstyle {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots ,\!

Квадратният корен на неотрицателно число се използва в определението за Евклидова норма, както и в генерализации като Хилбертовото пространство. Дефинира важното понятие за стандартно отклонение, което се използва в теорията на вероятностите и статистиката. Има важно приложение във формулата за корени на квадратно уравнение. Квадратните корени често присъстват в математическите формули, както и сред физичните закони.

Изчисляване

Основна статия: Методи за изчисляване на квадратни корени

Повечето джобни калкулатори имат бутон за квадратен корен. Компютърните електронни таблици и друг софтуер често се използват за изчисляване на квадратни корени. Джобните калкулатори обикновено използват ефективни рутинни методи, като например метода на Нютон, за да изчислят квадратния корен на положително реално число.^[7]^[8] Когато квадратния корен се изчислява чрез логаритмична таблица или чрез сметачна линия, може да се използват тъждествата

{\sqrt {a}}=e^{(\ln a)/2}=10^{(\lg a)/2},

където ln и lg са съответно натурален логаритъм и десетичен логаритъм.

На принципа проба-грешка^[9] може да се изведе квадратния корен на ${\sqrt {a}}$ и да се намали или увеличи изпробваната стойност, докато се достигне нужната точност. За тази техника е разумно да се използва тъждеството

(x+c)^{2}=x^{2}+2xc+c^{2},

тъй като позволява да се коригира оценката $x$ чрез $c$ и да се измери квадрата на корекцията според първоначалната оценка и квадрата ѝ. Освен това, $(x+c)^{2}\approx x^{2}+2xc\ \$ когато $c$ клони към 0, защото допирателната към графиката на функцията $x^{2}+2xc+c^{2},$ за $c=0$ , като функция само на $c$ , е $y=x^{2}+2xc$ . Следователно малки корекции на $x$ могат да бъдат предвидени, нагласяйки $2xc$ да е $a$ или $c={\frac {a}{2x}}$ .

Най-широко използваният итеративен метод за изчисление на квадратен корен на ръка се нарича „вавилонски метод“ или „метод на Херон“, по името на гръцкия философ Херон, който го описва за пръв път.^[10] Методът използва същата итеративна схема като метода на Нютон – Рафсон, когато се приложи към функцията $y=f(x)=x^{2}-a$ , позовавайки се на факта, че наклона ѝ във всяка точка е ${\frac {dy}{dx}}=f(x)=2x$ .^[11] Алгоритъмът е да се повтаря просто изчисление, което води до число по-близко до истинския квадратен корен всеки път, когато се повтаря, използвайки резултата като нова входна информация. Мотивацията за това е, че ако $x$ е надценка на квадратния корен на неотрицателно реално число $a$ , тогава ${\frac {a}{x}}$ ще е подценка и така средно аритметичното на тези две числа е по-добро приближение от което и да е от двете. Въпреки това, неравенството на аритметичните и геометричните средни стойности показва, че тази средна стойност винаги е надценена стойност на квадратния корен (както е отбелязано по-долу). Така то може да служи като нова надценка, с която да се повтори процеса, който схожда впоследствие към последователните надценки и подценки, които стават все по-близки с всяка итерация. За да се намери $x$ :

Започва се с произволно положително число $x$ . Колкото по-близко е до квадратния корен на a, толкова по-малко итерации ще са нужни за да се постигне желаната точност.
Замества се $x$ със средно аритметичното ${\frac {x+{\frac {a}{x}}}{2}}$ между $x$ и ${\frac {a}{x}}$ .
Повтаря се стъпка 2, използвайки полученото средно аритметично като нова стойност за $x$ .

Ако случайно се предположи, че ${\sqrt {a}}$ е $x_{0}$ и $x_{n+1}={\frac {x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}}{2}}$ , тогава всяко $x_{n}$ е приближение на ${\sqrt {a}}$ , което е по-добро за големи $n$ , отколкото за малки $n$ . Ако $a$ е положително, сходимостта е квадратична, което означава, че достигайки границата, броят верни числа се удвоява с всяка следваща итерация.

Ако $1=a=0$ , то сходимостта е само линейна; обаче, ${\sqrt {0}}=0$ , така че в този случай не е необходима итерация.

Използвайки тъждеството

{\sqrt {a}}=2^{-n}{\sqrt {4^{n}a}},

изчисляването на квадратния корен на положително число може да бъде намалено до изчисляването на корена на число в граници [1,4). Това опростява намирането на начална стойност за итеративния метод, която е близка до квадратен корен, за която може да се използва полиномиално или частично-линейно приближение.

Времевата сложност на изчисляването на квадратен корен с $n$ цифри точност е еквивалентна на тази при умножаването на две $n$ -цифрени числа.

Името на функцията, изчисляваща квадратен корен, варира у програмните езици, като sqrt^[12] се използва в C, C++ и производни езици като JavaScript, PHP и Python.

Квадратни корени на отрицателни и комплексни числа

Квадратът на всяко положително или отрицателно число е положителен, а квадратът на 0 е 0. Следователно никое отрицателно число не може да има реален квадратен корен. Все пак, решения на квадратния корен от отрицателно число могат да бъдат намерени в комплексната област. Това става чрез въвеждането на ново число, обозначавано с $i$ (понякога с $j$ , особено в електротехниката, където $i$ обозначава големината на тока) и наричано имагинерна единица. То се дефинира така: $i^{2}=-1$ . Така може да се мисли за $i$ като за квадратния корен на −1, но трябва да се отбележи също и че $(-i)^{2}=i^{2}=-1$ и така $-i$ е също квадратния корен на −1. Ако $x$ е неотрицателно число, то квадратният корен на $-x$ е

{\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}.

Дясната страна е наистина квадратният корен на $-x$ , тъй като

(i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x.

За всяко ненулево комплексно число z съществуват точно две числа w, такива че w² = z: квадратния корен на z и отрицателния му.

Квадратен корен на имагинерно число

Квадратните корени на i в комплексната област.

Квадратният корен на i се получава от

{\sqrt {i}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}+i{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).

Резултатът може да бъде получен алгебрично, като се намерят такива $a$ и $b$ , че

i=(a+bi)^{2}\!

или еквивалентно

i=a^{2}+2abi-b^{2}.\!

Оттук получаваме система от две уравнения

{\begin{cases}2ab=1\!\\a^{2}-b^{2}=0\!\end{cases}}

с решения

a=b=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}.

Резултатът може също да бъде получен, използвайки формулата на Моавър и използвайки

i=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right),

което дава резултат

{\begin{aligned}{\sqrt {i}}&=\left(\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\right)^{\frac {1}{2}}=\\&=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)=\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}+i\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).\\\end{aligned}}

Квадратен корен на комплексно число

За да се намери дефиниция за квадратния корен, която да позволява последователно да се избира една и съща стойност, наречена главна стойност, може да се наблюдава, че всяко комплексно число x + iy може да бъде разгледано като точка в равнина, (x, y), изразена чрез Декартови координати. Същата точка може да бъде изразена чрез полярни координати като двойката (r, φ), където r ≥ 0 е разстоянието на точката от началото, а φ е ъгълът, който се образува между правата от началото до точката и положителната реална ос x. В комплексния анализ тази стойност обикновено се записва като r e^iφ. Ако

z=re^{i\varphi }{\text{ и }}-\pi <\varphi \leq \pi ,

то квадратният корен от $z$ може да се дефинира така:

{\sqrt {z}}={\sqrt {r}}\,e^{i\varphi /2}.

Функцията на квадратния корен, следователно, може да бъде дефинирана, използвайки неположителната реална ос. Функцията е холоморфна навсякъде, освен в множеството на неположителните реални числа (при отрицателните реални числа тя дори не е непрекъсната). Редът на Тейлър от по-горе за √1 + x остава валиден за комплексни числа x с абсолютна стойност |x| < 1.

Горното може да бъде изразено чрез тригонометрични функции:

{\sqrt {r\left(\cos \varphi +i\,\sin \varphi \right)}}={\sqrt {r}}\left[\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right].

Алгебрична формула

Когато комплексното число $z$ е изразено чрез реална и имагинерна част, за квадратния корен може да се използва следната формула:^[13]^[14]

{\sqrt {z}}={\sqrt {\frac {|z|+\operatorname {Re} (z)}{2}}}\pm i\ {\sqrt {\frac {|z|-\operatorname {Re} (z)}{2}}},

където сигнумът (знакът) на имагинерната част на корена се взима така, че да е същият като сигнумът на имагинерната част на първоначалното число или положителен при нула. Реалната част на главната стойност е винаги неотрицателна.

Ако числото е записано в алгебричен вид с Декартови координати $x$ и $y$ , горната формула добива вида: ${\sqrt {x+iy}}={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {\textstyle x^{2}+y^{2}}}+x{\bigr )}}}+i\operatorname {sgn}(y){\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {\textstyle x^{2}+y^{2}}}-x{\bigr )}}},$

където sgn(y) = 1 ако y ≥ 0, иначе sgn(y) = −1.^[15]

Квадратен корен от матрици и оператори

Ако A е положително определена матрица или оператор, то съществува точна една положителна определена матрица или оператор B с B² = A, след което се изразява A^1/2 = B. По принцип матриците могат да имат много квадратни корени или дори безкрай. Например единичната матрица 2 × 2 има безкрай квадратни корени,^[16] макар и само един от тях да е положително определен.

Вижте също

Източници

↑ Gel'fand, p. 120
↑ Zill, Dennis G., Shanahan, Patrick. A First Course in Complex Analysis With Applications. 2nd. Jones & Bartlett Learning, 2008. ISBN 0-7637-5772-1. с. 78.
↑ Analysis of YBC 7289 // ubc.ca. Посетен на 19 януари 2015.
↑ Липсата на нула и запетая във вавилонската бройна система прави позиционната нотация двусмислена.
↑ Heath, Sir Thomas L. The Thirteen Books of The Elements, Vol. 3. Cambridge University Press, 1908. с. 3.
↑ Manguel, Alberto. Done on paper: the dual nature of numbers and the page // The Life of Numbers. 2006. ISBN 84-86882-14-1.
↑ Parkhurst, David F. Introduction to Applied Mathematics for Environmental Science. Springer, 2006. ISBN 9780387342283. с. 241.
↑ Solow, Anita E. Learning by Discovery: A Lab Manual for Calculus. Cambridge University Press, 1993. ISBN 9780883850831. с. 48.
↑ Aitken, Mike, Broadhurst, Bill, Hladky, Stephen. Mathematics for Biological Scientists. Garland Science, 2009. ISBN 978-1-136-84393-8. с. 41.
↑ Heath, Sir Thomas L. A History of Greek Mathematics, Vol. 2. Oxford, Clarendon Press, 1921. с. 323 – 324.
↑ Muller, Jean-Mic. Elementary functions: algorithms and implementation. Springer, 2006. ISBN 0-8176-4372-9. с. 92 – 93.
↑ Function sqrt // CPlusPlus.com. The C++ Resources Network, 2016. Архивиран от оригинала на 22 ноември 2012. Посетен на 24 юни 2016.
↑ Abramowitz, Milton, Stegun, Irene A. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. Courier Dover Publications, 1964. ISBN 0-486-61272-4. с. 17.
↑ Cooke, Roger. Classical algebra: its nature, origins, and uses. John Wiley and Sons, 2008. ISBN 0-470-25952-3. с. 59.
↑ Тази функция за знак се различава от обичайната знакова функция по стойността си в 0.
↑ Mitchell, Douglas W., „Using Pythagorean triples to generate square roots of I₂“, Mathematical Gazette 87, November 2003, 499 – 500.

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Square root в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.

ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.

[1] Gel'fand, p. 120

[2] Zill, Dennis G., Shanahan, Patrick. A First Course in Complex Analysis With Applications. 2nd. Jones & Bartlett Learning, 2008. ISBN 0-7637-5772-1. с. 78.

[3] Analysis of YBC 7289 // ubc.ca. Посетен на 19 януари 2015.

[4] Липсата на нула и запетая във вавилонската бройна система прави позиционната нотация двусмислена.

[5] Heath, Sir Thomas L. The Thirteen Books of The Elements, Vol. 3. Cambridge University Press, 1908. с. 3.

[6] Manguel, Alberto. Done on paper: the dual nature of numbers and the page // The Life of Numbers. 2006. ISBN 84-86882-14-1.

[7] Parkhurst, David F. Introduction to Applied Mathematics for Environmental Science. Springer, 2006. ISBN 9780387342283. с. 241.

[8] Solow, Anita E. Learning by Discovery: A Lab Manual for Calculus. Cambridge University Press, 1993. ISBN 9780883850831. с. 48.

[9] Aitken, Mike, Broadhurst, Bill, Hladky, Stephen. Mathematics for Biological Scientists. Garland Science, 2009. ISBN 978-1-136-84393-8. с. 41.

[10] Heath, Sir Thomas L. A History of Greek Mathematics, Vol. 2. Oxford, Clarendon Press, 1921. с. 323 – 324.

[11] Muller, Jean-Mic. Elementary functions: algorithms and implementation. Springer, 2006. ISBN 0-8176-4372-9. с. 92 – 93.

[12] Function sqrt // CPlusPlus.com. The C++ Resources Network, 2016. Архивиран от оригинала на 22 ноември 2012. Посетен на 24 юни 2016.

[13] Abramowitz, Milton, Stegun, Irene A. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. Courier Dover Publications, 1964. ISBN 0-486-61272-4. с. 17.

[14] Cooke, Roger. Classical algebra: its nature, origins, and uses. John Wiley and Sons, 2008. ISBN 0-470-25952-3. с. 59.

[15] Тази функция за знак се различава от обичайната знакова функция по стойността си в 0.

[16] Mitchell, Douglas W., „Using Pythagorean triples to generate square roots of I₂“, Mathematical Gazette 87, November 2003, 499 – 500.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]