Матрица (математика)

Вижте пояснителната страница за други значения на матрица.

---

Означение на елементите в матрица m × n

В математиката, матрица представлява правоъгълна таблица от елементи, най-често числа (числова матрица). Елементите на матрицата могат да бъдат от произволно поле (например реални или рационални числа) или пръстен. Матрица от тип m × n над поле F се нарича матрица, елементите на която са от полето F и има m реда и n стълба.

Пример за матрица 4 × 3 над полето на реалните числа:

${\begin{bmatrix}0&-2&7\\15&1&-0,14\\3&5&6\\\pi &-7&0\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}0&-2&7\\15&1&-0,14\\3&5&6\\\pi &-7&0\end{bmatrix}}$

Множеството от матриците над поле F от тип m × n им може да се запише като F_mxn. Обикновено матриците се отбелязват с главни латински букви – например A, а елементите на матрицата се записват със съответната малка или главна буква — a_ij или A_ij, като първият индекс показва номера на реда, а вторият — номера на стълба, на който се намира елементът в матрицата.

Две матрици са равни, когато са от един и същи тип и съответните им елементи са равни.

Матрицата е квадратна (от ред n), когато има равен брой редове и стълбове (n на брой).

В една квадратна матрица от ред n, елементите с равни индекси (a_ii, i=1.. n) образуват главния ѝ диагонал:

$a_{ii},i=1..n$$a_{{ii}},i=1..n$

Елементите, сборът от индексите на които е равен на n+1 (a_ij, i=1.. n, j=n..1), образуват страничния диагонал:

$a_{1n},a_{2n-1},..,a_{n1}$$a_{{1n}},a_{{2n-1}},..,a_{{n1}}$

Видове матрици

• триъгълна матрица — квадратна матрица, при която елементите под или над главния диагонал са нули, съответно горна или долна триъгълна матрица:

${\begin{bmatrix}2&0&7\\0&1&-3\\0&0&5,3\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}2&0&7\\0&1&-3\\0&0&5,3\end{bmatrix}}$

• диагонална матрица — квадратна матрица, чиито елементи, неучастващи в главния диагонал, са нули:

${\begin{bmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&5\end{bmatrix}},\ i\neq j\Rightarrow a_{ij}=0$${\begin{bmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&5\end{bmatrix}},\ i\neq j\Rightarrow a_{{ij}}=0$

• скаларна матрица — диагонална матрица, елементите от главния диагонал на която са равни:

${\begin{bmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{bmatrix}}$

• единична матрица — скаларна матрица с елементи от главния диагонал равни на единица:

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

• симетрична матрица - квадратна матрица, за която е изпълнено $a_{ij}=a_{ji},\forall i,j$$a_{{ij}}=a_{{ji}},\forall i,j$:

${\begin{bmatrix}1&6&7\\6&2&8\\7&8&3\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}1&6&7\\6&2&8\\7&8&3\end{bmatrix}}$

• антисиметрична матрица - квадратна матрица A(a_ij), за която е изпълнено a_ij = -a_ji, за всеки i,j.

${\begin{bmatrix}0&5&1\\-5&0&7\\-1&-7&0\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}0&5&1\\-5&0&7\\-1&-7&0\end{bmatrix}}$

Основни операции с матрици

Транспониране 

Транспонирането е унарна операция. Транспонирата матрица се бележи с A^T и се получава, като в матрицата A редовете се запишат като стълбовете, т.е. а^T_ij = а_ji. Пример:

$A_{m\times n}={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\10&11&12\end{bmatrix}},\quad A_{n\times m}^{T}={\begin{bmatrix}1&4&7&10\\2&5&8&11\\3&6&9&12\end{bmatrix}}$$A_{{m\times n}}={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\10&11&12\end{bmatrix}},\quad A_{{n\times m}}^{T}={\begin{bmatrix}1&4&7&10\\2&5&8&11\\3&6&9&12\end{bmatrix}}$

Събиране 

Събират се матрици от един и същи тип. Елементите на новополучената матрица (сбора), са равни на сбора на съответните елементи от събираните матрици:

${\begin{bmatrix}1&2,7&0\\3&1&x\\\pi &2,4&x\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2,5&3,3&0\\2&1&2x\\4&2,4&y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3,5&6&0\\5&2&3x\\4+\pi &4,8&x+y\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}1&2,7&0\\3&1&x\\\pi &2,4&x\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2,5&3,3&0\\2&1&2x\\4&2,4&y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3,5&6&0\\5&2&3x\\4+\pi &4,8&x+y\end{bmatrix}}$

Умножение на матрица с число 

Всеки елемент на матрицата се умножава с числото:

$\lambda A={\begin{bmatrix}\lambda a_{11}&\lambda a_{12}&\cdots &\lambda a_{1n}\\\vdots &\cdots &\cdots &\vdots \\\lambda a_{m1}&\lambda a_{m2}&\cdots &\lambda a_{mn}\end{bmatrix}}$$\lambda A={\begin{bmatrix}\lambda a_{{11}}&\lambda a_{{12}}&\cdots &\lambda a_{{1n}}\\\vdots &\cdots &\cdots &\vdots \\\lambda a_{{m1}}&\lambda a_{{m2}}&\cdots &\lambda a_{{mn}}\end{bmatrix}}$

Умножение на матрици 

Умножението на матриците A и B е дефинирано само когато A е съгласувана с B, т.е., когато броят на стълбовете на A е равен на броя на редовете на B. Произведението C_m x p на A_m x n и B_n x p се дефинира с равенството:

$c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{in}b_{nj}$$c_{{ij}}=\sum _{{k=1}}^{n}a_{{ik}}b_{{kj}}=a_{{i1}}b_{{1j}}+a_{{i2}}b_{{2j}}+...+a_{{in}}b_{{nj}}$

т.е. всеки ред на матрицата A се умножава последователно с всеки от стълбовете на B, като всяко от тези произведения дава един елемент от реда на матрицата C с номер, съвпадащ с този на A. Първият ред на A, умножен с всички стълбове на B, дава всички елементи от първия ред на C и т.н. Пример:

${\begin{bmatrix}1&3\\0&-2\\4&1\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}7&9\\5&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1*7+3*5&1*9+3*2\\0*7+(-2)*5&0*9+(-2)*2\\4*7+1*5&4*9+1*2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}22&15\\-10&-4\\33&38\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}1&3\\0&-2\\4&1\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}7&9\\5&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1*7+3*5&1*9+3*2\\0*7+(-2)*5&0*9+(-2)*2\\4*7+1*5&4*9+1*2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}22&15\\-10&-4\\33&38\end{bmatrix}}$

Детерминанта

Детерминантите на квадратни матрици от 1 на 1 до 3 на 3 са:

$\det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a$$\det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a$

$\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc$$\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc$

$\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}=aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg$$\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}=aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg$

В останалите случаи, най-често свеждаме матрицата до горно или долно триъгълна чрез елементарни преобразувания (умножение на ред или стълб с дадено число и прибавяне на реда към друг ред (или прибавяне на стълб към друг стълб)).

$\det {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\cdots &\cdots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}=a_{11}a_{22}...a_{nn}$$\det {\begin{bmatrix}a_{{11}}&a_{{12}}&\cdots &a_{{1n}}\\0&a_{{22}}&\cdots &a_{{2n}}\\\vdots &\cdots &\cdots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{{nn}}\end{bmatrix}}=a_{{11}}a_{{22}}...a_{{nn}}$.

Външни препратки

• ((en)) Статия „Матрица“ във Wolfram MathWorld