Матрица (математика)

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Емблема за пояснителна страница Вижте пояснителната страница за други значения на матрица.

Означение на елементите в матрица m × n

В математиката, матрица представлява правоъгълна таблица от елементи, най-често числа (числова матрица). Елементите на матрицата могат да бъдат от произволно поле (например реални или рационални числа) или пръстен. Матрица от тип m × n над поле F се нарича матрица, елементите на която са от полето F и има m реда и n стълба.

Пример за матрица 4 × 3 над полето на реалните числа:


\begin{bmatrix} 
  0 & -2 & 7 \\
  15 & 1 & -0,14 \\
  3 & 5 & 6 \\
  \pi & -7 & 0 
\end{bmatrix}

Множеството от матриците над поле F от тип m × n им може да се запише като Fmxn. Обикновено матриците се отбелязват с главни латински букви – например A, а елементите на матрицата се записват със съответната малка или главна буква — aij или Aij, като първият индекс показва номера на реда, а вторият — номера на стълба, на който се намира елементът в матрицата.

Две матрици са равни, когато са от един и същи тип и съответните им елементи са равни.

Матрицата е квадратна (от ред n), когато има равен брой редове и стълбове (n на брой).

В една квадратна матрица от ред n, елементите с равни индекси (aii, i=1.. n) образуват главния ѝ диагонал:

a_{ii}, i=1..n

Елементите, сборът от индексите на които е равен на n+1 (aij, i=1.. n, j=n..1), образуват страничния диагонал:

a_{1n}, a_{2 n-1},..,a_{n1}

Видове матрици[редактиране | edit source]

  • триъгълна матрица — квадратна матрица, при която елементите под или над главния диагонал са нули, съответно горна или долна триъгълна матрица:


\begin{bmatrix} 
  2 & 0 & 7 \\ 
  0 & 1 & -3 \\ 
  0 & 0 & 5,3
\end{bmatrix}

  • диагонална матрица — квадратна матрица, чиито елементи, неучастващи в главния диагонал, са нули:


\begin{bmatrix} 
  2 & 0 & 0 \\ 
  0 & 1 & 0 \\ 
  0 & 0 & 5
\end{bmatrix},\ i \ne j  \Rightarrow a_{ij}=0

  • скаларна матрица — диагонална матрица, елементите от главния диагонал на която са равни:


\begin{bmatrix} 
  \lambda & 0 & 0 \\ 
  0 & \lambda & 0 \\ 
  0 & 0 & \lambda 
\end{bmatrix}

  • единична матрица — скаларна матрица с елементи от главния диагонал равни на единица:


\begin{bmatrix} 
  1 & 0 & 0 \\ 
  0 & 1 & 0 \\ 
  0 & 0 & 1 
\end{bmatrix}

  • симетрична матрица - квадратна матрица, за която е изпълнено  a_{ij}=a_{ji}, \forall i, j :


\begin{bmatrix} 
  1 & 6 & 7 \\ 
  6 & 2 & 8 \\ 
  7 & 8 & 3 
\end{bmatrix}

	
\begin{bmatrix}
 0 & 5 & 1 \\
 -5 & 0 & 7 \\ 
-1 & -7 & 0 
\end{bmatrix}

Основни операции с матрици[редактиране | edit source]

Транспониране 
Транспонирането е унарна операция. Транспонирата матрица се бележи с AT и се получава, като в матрицата A редовете се запишат като стълбовете, т.е. аTij = аji. Пример:


A_{m \times n} = 
\begin{bmatrix} 
  1 & 2 & 3 \\ 
  4 & 5 & 6 \\ 
  7 & 8 & 9 \\
  10 & 11 & 12
\end{bmatrix},\quad
A^T_{n \times m} = 
\begin{bmatrix} 
  1 & 4 & 7 & 10\\ 
  2 & 5 & 8 & 11\\
  3 & 6 & 9 & 12
\end{bmatrix}

Събиране 
Събират се матрици от един и същи тип. Елементите на новополучената матрица (сбора), са равни на сбора на съответните елементи от събираните матрици:


\begin{bmatrix} 
  1 & 2,7 & 0 \\ 
  3 & 1 & x \\ 
  \pi & 2,4 & x 
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix} 
  2,5 & 3,3 & 0 \\ 
  2 & 1 & 2x \\ 
  4 & 2,4 & y 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 
  3,5 & 6 & 0 \\ 
  5 & 2 & 3x \\ 
  4+\pi & 4,8 & x+y 
\end{bmatrix}

Умножение на матрица с число 
Всеки елемент на матрицата се умножава с числото:


\lambda A = 
\begin{bmatrix} 
  \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\ 
  \vdots & \cdots & \cdots & \vdots \\ 
  \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn} 
\end{bmatrix}

Умножение на матрици 
Умножението на матриците A и B е дефинирано само когато A е съгласувана с B, т.е., когато броят на стълбовете на A е равен на броя на редовете на B. Произведението Cm x p на Am x n и Bn x p се дефинира с равенството:


c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + ... + a_{in}b_{nj}

т.е. всеки ред на матрицата A се умножава последователно с всеки от стълбовете на B, като всяко от тези произведения дава един елемент от реда на матрицата C с номер, съвпадащ с този на A. Първият ред на A, умножен с всички стълбове на B, дава всички елементи от първия ред на C и т.н. Пример:


\begin{bmatrix} 
  1 & 3 \\
  0 & -2\\
  4 & 1
\end{bmatrix}
. 
\begin{bmatrix} 
  7 & 9 \\
  5 & 2
\end{bmatrix}
 = 
\begin{bmatrix} 
  1*7 + 3*5 & 1*9 + 3*2 \\
  0*7 + (-2)*5 & 0*9 + (-2)*2\\
  4*7 + 1*5 & 4*9 + 1*2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 
  22 & 15 \\
  -10 & -4\\
  33 & 38
\end{bmatrix}

Детерминанта[редактиране | edit source]

Детерминантите на квадратни матрици от 1 на 1 до 3 на 3 са:

\det \begin{bmatrix} a \end{bmatrix}  = a
\det \begin{bmatrix}a&b\\
c&d\end{bmatrix}  = ad - bc
\det \begin{bmatrix}a&b&c\\
d&e&f\\
g&h&i\end{bmatrix}  = aei + bfg + cdh - afh - bdi - ceg

В останалите случаи, най-често свеждаме матрицата до горно или долно триъгълна чрез елементарни преобразувания (умножение на ред или стълб с дадено число и прибавяне на реда към друг ред (или прибавяне на стълб към друг стълб)).

\det 
\begin{bmatrix} 
  a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
  \vdots & \cdots & \cdots & \vdots \\ 
  0 & 0 & \cdots & a_{nn} 
\end{bmatrix} = a_{11}a_{22}...a_{nn}.


Външни препратки[редактиране | edit source]