Матрица (математика)

Вижте пояснителната страница за други значения на матрица.

---

Означение на елементите в матрица m × n

В математиката, матрица представлява правоъгълна таблица от елементи, най-често числа (числова матрица). Елементите на матрицата могат да бъдат от произволно поле (например реални или рационални числа) или пръстен. Матрица от тип m × n над поле F се нарича матрица, елементите на която са от полето F и има m реда и n стълба.

Пример за матрица 4 × 3 над полето на реалните числа:

$\begin{bmatrix} 0 & -2 & 7 \\ 15 & 1 & -0,14 \\ 3 & 5 & 6 \\ \pi & -7 & 0 \end{bmatrix}$

Множеството от матриците над поле F от тип m × n им може да се запише като F_mxn. Обикновено матриците се отбелязват с главни латински букви – например A, а елементите на матрицата се записват със съответната малка или главна буква — a_ij или A_ij, като първият индекс показва номера на реда, а вторият — номера на стълба, на който се намира елементът в матрицата.

Две матрици са равни, когато са от един и същи тип и съответните им елементи са равни.

Матрицата е квадратна (от ред n), когато има равен брой редове и стълбове (n на брой).

В една квадратна матрица от ред n, елементите с равни индекси (a_ii, i=1.. n) образуват главния ѝ диагонал:

$a_{ii}, i=1..n$

Елементите, сборът от индексите на които е равен на n+1 (a_ij, i=1.. n, j=n..1), образуват страничния диагонал:

$a_{1n}, a_{2 n-1},..,a_{n1}$

Видове матрици

• триъгълна матрица — квадратна матрица, при която елементите под или над главния диагонал са нули, съответно горна или долна триъгълна матрица:

$\begin{bmatrix} 2 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 5,3 \end{bmatrix}$

• диагонална матрица — квадратна матрица, чиито елементи, неучастващи в главния диагонал, са нули:

$\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix},\ i \ne j \Rightarrow a_{ij}=0$

• скаларна матрица — диагонална матрица, елементите от главния диагонал на която са равни:

$\begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{bmatrix}$

• единична матрица — скаларна матрица с елементи от главния диагонал равни на единица:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

• симетрична матрица - квадратна матрица, за която е изпълнено $a_{ij}=a_{ji}, \forall i, j$:

$\begin{bmatrix} 1 & 6 & 7 \\ 6 & 2 & 8 \\ 7 & 8 & 3 \end{bmatrix}$

• антисиметрична матрица - квадратна матрица A(a_ij), за която е изпълнено a_ij = -a_ji, за всеки i,j.

$\begin{bmatrix} 0 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & 7 \\ -1 & -7 & 0 \end{bmatrix}$

Основни операции с матрици

Транспониране 

Транспонирането е унарна операция. Транспонирата матрица се бележи с A^T и се получава, като в матрицата A редовете се запишат като стълбовете, т.е. а^T_ij = а_ji. Пример:

$A_{m \times n} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12 \end{bmatrix},\quad A^T_{n \times m} = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 & 10\\ 2 & 5 & 8 & 11\\ 3 & 6 & 9 & 12 \end{bmatrix}$

Събиране 

Събират се матрици от един и същи тип. Елементите на новополучената матрица (сбора), са равни на сбора на съответните елементи от събираните матрици:

$\begin{bmatrix} 1 & 2,7 & 0 \\ 3 & 1 & x \\ \pi & 2,4 & x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2,5 & 3,3 & 0 \\ 2 & 1 & 2x \\ 4 & 2,4 & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3,5 & 6 & 0 \\ 5 & 2 & 3x \\ 4+\pi & 4,8 & x+y \end{bmatrix}$

Умножение на матрица с число 

Всеки елемент на матрицата се умножава с числото:

$\lambda A = \begin{bmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\ \vdots & \cdots & \cdots & \vdots \\ \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn} \end{bmatrix}$

Умножение на матрици 

Умножението на матриците A и B е дефинирано само когато A е съгласувана с B, т.е., когато броят на стълбовете на A е равен на броя на редовете на B. Произведението C_m x p на A_m x n и B_n x p се дефинира с равенството:

$c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + ... + a_{in}b_{nj}$

т.е. всеки ред на матрицата A се умножава последователно с всеки от стълбовете на B, като всяко от тези произведения дава един елемент от реда на матрицата C с номер, съвпадащ с този на A. Първият ред на A, умножен с всички стълбове на B, дава всички елементи от първия ред на C и т.н. Пример:

$\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & -2\\ 4 & 1 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 7 & 9 \\ 5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1*7 + 3*5 & 1*9 + 3*2 \\ 0*7 + (-2)*5 & 0*9 + (-2)*2\\ 4*7 + 1*5 & 4*9 + 1*2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 22 & 15 \\ -10 & -4\\ 33 & 38 \end{bmatrix}$

Детерминанта

Детерминантите на квадратни матрици от 1 на 1 до 3 на 3 са:

$\det \begin{bmatrix} a \end{bmatrix} = a$

$\det \begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix} = ad - bc$

$\det \begin{bmatrix}a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\end{bmatrix} = aei + bfg + cdh - afh - bdi - ceg$

В останалите случаи, най-често свеждаме матрицата до горно или долно триъгълна чрез елементарни преобразувания (умножение на ред или стълб с дадено число и прибавяне на реда към друг ред (или прибавяне на стълб към друг стълб)).

$\det \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \cdots & \cdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} = a_{11}a_{22}...a_{nn}$.

Външни препратки

• ((en)) Статия „Матрица“ във Wolfram MathWorld