Матрица (математика)
Вижте пояснителната страница за други значения на матрица.
В математиката, матрица представлява правоъгълна таблица от елементи, най-често числа (числова матрица). Елементите на матрицата могат да бъдат от произволно поле (например реални или рационални числа) или пръстен. Матрица от тип m × n над поле F се нарича матрица, елементите на която са от полето F и има m реда и n стълба.
Пример за матрица 4 × 3 над полето на реалните числа:
Множеството от матриците над поле F от тип m × n им може да се запише като Fmxn. Обикновено матриците се отбелязват с главни латински букви – например A, а елементите на матрицата се записват със съответната малка или главна буква – aij или Aij, като първият индекс показва номера на реда, а вторият – номера на стълба, на който се намира елементът в матрицата.
Две матрици са равни, когато са от един и същи тип и съответните им елементи са равни.
Матрицата е квадратна (от ред n), когато има равен брой редове и стълбове (n на брой).
В една квадратна матрица от ред n, елементите с равни индекси (aii, i=1.. n) образуват главния ѝ диагонал:
Елементите, сборът от индексите на които е равен на n+1 (aij, i=1.. n, j=n..1), образуват страничния диагонал:
Видове матрици[редактиране | редактиране на кода]
- триъгълна матрица – квадратна матрица, при която елементите под или над главния диагонал са нули, съответно горна или долна триъгълна матрица:
- диагонална матрица – квадратна матрица, чиито елементи, неучастващи в главния диагонал, са нули:
- скаларна матрица – диагонална матрица, елементите от главния диагонал на която са равни:
- единична матрица – скаларна матрица с елементи от главния диагонал равни на единица:
- симетрична матрица – квадратна матрица , за която е изпълнено :
- антисиметрична матрица – квадратна матрица , за която е изпълнено :
Основни операции с матрици[редактиране | редактиране на кода]
- Транспониране
- Транспонирането е унарна операция. Транспонирата матрица се бележи с AT и се получава, като в матрицата A редовете се запишат като стълбовете, т.е. аTij = аji. Пример:
- Събиране
- Събират се матрици от един и същи тип. Елементите на новополучената матрица (сбора), са равни на сбора на съответните елементи от събираните матрици:
- Умножение на матрица с число
- Всеки елемент на матрицата се умножава с числото:
- Умножение на матрици
- Умножението на матриците A и B е дефинирано само когато A е съгласувана с B, т.е., когато броят на стълбовете на A е равен на броя на редовете на B. Произведението Cm x p на Am x n и Bn x p се дефинира с равенството:
- т.е. всеки ред на матрицата A се умножава последователно с всеки от стълбовете на B, като всяко от тези произведения дава един елемент от реда на матрицата C с номер, съвпадащ с този на A. Първият ред на A, умножен с всички стълбове на B, дава всички елементи от първия ред на C и т.н. Пример:
Детерминанта[редактиране | редактиране на кода]
Детерминантите на квадратни матрици от 1 на 1 до 3 на 3 са:
В останалите случаи, най-често свеждаме матрицата до горно или долно триъгълна чрез елементарни преобразувания (умножение на ред или стълб с дадено число и прибавяне на реда към друг ред (или прибавяне на стълб към друг стълб)).
Външни препратки[редактиране | редактиране на кода]
В Общомедия има медийни файлове относно Матрица (математика)
- ((en)) Статия „Матрица“ в Wolfram MathWorld