Матрица (математика)

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето
Емблема за пояснителна страница Вижте пояснителната страница за други значения на матрица.

Означение на елементите в матрица m × n

В математиката, матрица представлява правоъгълна таблица от величини, най-често числа (числова матрица). Величините се наричат елементи на матрицата. Елементи на матрица могат да са числа, вектори, функции или други математически обекти.[1] Те могат да бъдат от произволно поле (например реални или рационални числа) или пръстен. Матрица от тип m × n над поле F се нарича матрица, елементите на която са от полето F и има m реда и n стълба:

Множеството от матриците над поле F от тип m × n им може да се запише като Fmxn.

Пример за матрица 4 × 3 над полето на реалните числа:

Елементи на матриците[редактиране | редактиране на кода]

Обикновено матриците се отбелязват с главни латински букви – например A, а елементите на матрицата се записват със съответната малка или главна буква – aik или Aik, като първият индекс показва номера на реда, а вторият – номера на стълба, на който се намира елементът в матрицата.

В една квадратна матрица от ред n, елементите с равни индекси (aii, i=1.. n) образуват главния ѝ диагонал:

Елементите, сборът от индексите на които е равен на n+1 (aij, i=1.. n, j=n..1), образуват страничния диагонал:

Видове матрици[редактиране | редактиране на кода]

  • нулева матрица (0) – матрица, при която всички елементи са нули:

  • квадратна матрица – матрица с равен брой на редове и колони:

  • правоъгълна матрица – матрица с различен брой редове и колони:

  • триъгълна матрица – квадратна матрица, при която елементите под или над главния диагонал са нули, съответно горна или долна триъгълна матрица:

  • диагонална матрица – квадратна матрица, чиито елементи, неучастващи в главния диагонал, са нули:

  • скаларна матрица – диагонална матрица, елементите от главния диагонал на която са равни:

  • единична матрица (E) – скаларна матрица с елементи от главния диагонал равни на единица:

  • еднакви матрици – когато , тоест съответните им елементи са равни.[1]
  • симетрична матрица – квадратна матрица , за която е изпълнено :

  • антисиметрична матрица – квадратна матрица , за която е изпълнено :

Елементарни преобразувания с матрици[редактиране | редактиране на кода]

  • смяна на местата на два реда:

  • прибявяне на един ред на матрица към друг:

  • умножаване на ред на матрицата с число различно от 0:

Основни операции с матрици[редактиране | редактиране на кода]

Транспониране[редактиране | редактиране на кода]

Транспонирането е унарна операция. Транспонирата матрица се бележи с AT и се получава, като в матрицата A редовете се запишат като стълбовете, т.е. аTij = аji. Пример:

Събиране[редактиране | редактиране на кода]

Събират се само матрици от един и същи ред.[1] Елементите на новополучената матрица (сбора), са равни на сбора на съответните елементи от събираните матрици:

Свойства:[1]

  • комутативност:
  • асоциативност:
  • дистрибутивност: ,
  • неутралност на нулевата матрица:
  • , където A и B са еднакви матрици
  • противоположната матрица на матрицата А означаваме с –А, за която е в сила
  • разликата на матриците А и В е матрицата , като към А прибавим противоположната матрица на В, тоест :

Умножение на матрица с число (скалар)[1][редактиране | редактиране на кода]

Всеки елемент на матрицата се умножава с числото:

Свойства:

  • ако , то
  • ако А и В са еднакви матрици, то

Умножение на матрици[редактиране | редактиране на кода]

Умножението на матриците A и B е дефинирано само когато A е съгласувана с B, т.е., когато броят на стълбовете на A е равен на броя на редовете на B. Произведението Cm x p на Am x n и Bn x p се дефинира с равенството:

т.е. всеки ред на матрицата A се умножава последователно с всеки от стълбовете на B, като всяко от тези произведения дава един елемент от реда на матрицата C с номер, съвпадащ с този на A. Първият ред на A, умножен с всички стълбове на B, дава всички елементи от първия ред на C и т.н. Пример:

Свойства:

  • две квадратни матрици могат да бъдат умножени само ако са от един и същи ред
  • комуникативност – не е в сила за произволни матрици
  • асоциативност:
  • дистрибутивност:

Детерминанта[редактиране | редактиране на кода]

Детерминантата е свойство на всяка квадратна матрица, при което тя може да се съпостави на едно число |A|:

,

където сумата е по всички пермутации (k1k2 …kn) на числата 1,2,…,n и I е броят на инверсиите в съответната пермутация. Инверсия в пермутация – , при .

В сила е нотацията .

Пресмятане на детерминанта[редактиране | редактиране на кода]

За детерминанта от първи ред:

За детерминанта от втори ред:

За детерминанта от трети ред:

В останалите случаи, най-често свеждаме матрицата до горно или долно триъгълна чрез елементарни преобразувания (умножение на ред или стълб с дадено число и прибавяне на реда към друг ред (или прибавяне на стълб към друг стълб)).

Детерминанта от n-ти ред се пресмята чрез развитие по ред или по стълб – една матрица от n-ти ред се получават n детерминати от (n-1)-ви ред.

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. а б в г д Латка, Франтишек. Минисправочник по математика. София, Регалия 6, 1992. ISBN 954-8147-02-5. с. 36 – 42.

Външни препратки[редактиране | редактиране на кода]