Матрица (математика)

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Емблема за пояснителна страница Вижте пояснителната страница за други значения на матрица.

Означение на елементите в матрица m × n

В математиката, матрица представлява правоъгълна таблица от елементи, най-често числа (числова матрица). Елементите на матрицата могат да бъдат от произволно поле (например реални или рационални числа) или пръстен. Матрица от тип m × n над поле F се нарича матрица, елементите на която са от полето F и има m реда и n стълба.

Пример за матрица 4 × 3 над полето на реалните числа:

Множеството от матриците над поле F от тип m × n им може да се запише като Fmxn. Обикновено матриците се отбелязват с главни латински букви – например A, а елементите на матрицата се записват със съответната малка или главна буква — aij или Aij, като първият индекс показва номера на реда, а вторият — номера на стълба, на който се намира елементът в матрицата.

Две матрици са равни, когато са от един и същи тип и съответните им елементи са равни.

Матрицата е квадратна (от ред n), когато има равен брой редове и стълбове (n на брой).

В една квадратна матрица от ред n, елементите с равни индекси (aii, i=1.. n) образуват главния ѝ диагонал:

Елементите, сборът от индексите на които е равен на n+1 (aij, i=1.. n, j=n..1), образуват страничния диагонал:

Видове матрици[редактиране | редактиране на кода]

  • триъгълна матрица — квадратна матрица, при която елементите под или над главния диагонал са нули, съответно горна или долна триъгълна матрица:

  • диагонална матрица — квадратна матрица, чиито елементи, неучастващи в главния диагонал, са нули:

  • скаларна матрица — диагонална матрица, елементите от главния диагонал на която са равни:

  • единична матрица — скаларна матрица с елементи от главния диагонал равни на единица:

  • симетрична матрица - квадратна матрица, за която е изпълнено :

Основни операции с матрици[редактиране | редактиране на кода]

Транспониране 
Транспонирането е унарна операция. Транспонирата матрица се бележи с AT и се получава, като в матрицата A редовете се запишат като стълбовете, т.е. аTij = аji. Пример:

Събиране 
Събират се матрици от един и същи тип. Елементите на новополучената матрица (сбора), са равни на сбора на съответните елементи от събираните матрици:

Умножение на матрица с число 
Всеки елемент на матрицата се умножава с числото:

Умножение на матрици 
Умножението на матриците A и B е дефинирано само когато A е съгласувана с B, т.е., когато броят на стълбовете на A е равен на броя на редовете на B. Произведението Cm x p на Am x n и Bn x p се дефинира с равенството:

т.е. всеки ред на матрицата A се умножава последователно с всеки от стълбовете на B, като всяко от тези произведения дава един елемент от реда на матрицата C с номер, съвпадащ с този на A. Първият ред на A, умножен с всички стълбове на B, дава всички елементи от първия ред на C и т.н. Пример:

Детерминанта[редактиране | редактиране на кода]

Детерминантите на квадратни матрици от 1 на 1 до 3 на 3 са:

В останалите случаи, най-често свеждаме матрицата до горно или долно триъгълна чрез елементарни преобразувания (умножение на ред или стълб с дадено число и прибавяне на реда към друг ред (или прибавяне на стълб към друг стълб)).

.

Външни препратки[редактиране | редактиране на кода]