Матрица (математика)

Вижте пояснителната страница за други значения на матрица.

---

Означение на елементите в матрица m × n

В математиката, матрица представлява правоъгълна таблица от величини, най-често числа (числова матрица). Величините се наричат елементи на матрицата. Елементи на матрица могат да са числа, вектори, функции или други математически обекти. Те могат да бъдат от произволно поле (например реални или рационални числа) или пръстен. Матриците и матричната алгебра са основни в линейната алгебра. Те се използват за решаване на линейни системи, линейни преобразувания и собствени стойности. Матрица от тип m × n над поле F се нарича матрица, елементите на която са от полето F и има m реда и n стълба:

$$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}$$

Множеството от матриците над поле F от тип m × n им може да се запише като F_mxn.

Пример за матрица 4 × 3 над полето на реалните числа:

$${\begin{bmatrix}0&-2&7\\15&1&-0,14\\3&5&6\\\pi &-7&0\end{bmatrix}}$$

Математическа нотация

Обикновено матриците се отбелязват с главни латински букви – например A, а елементите на матрицата се записват със съответната малка или главна буква – a_ik или A_ik, като първият индекс показва номера на реда, а вторият – номера на стълба, на който се намира елементът в матрицата. Освен скоби от вида [ ], е възможно изписване с ( ) и $\parallel \ \ \parallel$

Елементи на матриците

В една квадратна матрица от ред n, елементите с равни индекси (a_ii, i=1.. n) образуват главния ѝ диагонал:

$$a_{ii},i=1..n$$

Елементите, сборът от индексите на които е равен на n+1 (a_ij, i=1.. n, j=n..1), образуват страничния диагонал:

$$a_{1n},a_{2n-1},..,a_{n1}$$

Видове матрици

Най-често се използват матрици с елементи от полето $\mathbb {R}$ и $\mathbb {C}$. В първия случай матрицата се нарича реална, а във втория – комплексна.

• нулева матрица (0) – матрица, при която всички елементи са нули:

$${\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$$

• квадратна матрица – матрица с равен брой на редове и колони:

$${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$$

• правоъгълна матрица – матрица с различен брой редове и колони:

$${\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}}$$

• триъгълна матрица – квадратна матрица, при която елементите под или над главния диагонал са нули, съответно горна или долна триъгълна матрица:

$${\begin{bmatrix}2&0&7\\0&1&-3\\0&0&5,3\end{bmatrix}}$$

• диагонална матрица – квадратна матрица, чиито елементи, неучастващи в главния диагонал, са нули:

$${\begin{bmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&5\end{bmatrix}},\ i\neq j\Rightarrow a_{ij}=0$$

• скаларна матрица – диагонална матрица, елементите от главния диагонал на която са равни:

$${\begin{bmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{bmatrix}}$$

• единична матрица (E) – скаларна матрица с елементи от главния диагонал равни на единица:

$${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$$

• еднакви матрици – когато $a_{ik}=b_{ik}$, тоест съответните им елементи са равни.
• симетрична матрица – квадратна матрица $A(a_{ij})$, за която е изпълнено $a_{ij}=a_{ji},\forall i,j$:

$${\begin{bmatrix}1&6&7\\6&2&8\\7&8&3\end{bmatrix}}$$

• антисиметрична матрица – квадратна матрица $A(a_{ij})$, за която е изпълнено $a_{ij}=-a_{ji},\forall i,j$:

$${\begin{bmatrix}0&5&1\\-5&0&7\\-1&-7&0\end{bmatrix}}$$

Елементарни преобразувания с матрици

• смяна на местата на два реда:

$${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}}\Rightarrow {\begin{bmatrix}c&d\\a&b\\e&f\end{bmatrix}}$$

• прибявяне на един ред на матрица към друг:

$${\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}}\Rightarrow {\begin{bmatrix}a+d&b+e&c+f\\d&e&f\end{bmatrix}}$$

• умножаване на ред на матрицата с число различно от 0:

$${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}}\Rightarrow {\begin{bmatrix}a&b\\\lambda c&\lambda d\\e&f\end{bmatrix}},\lambda \neq 0$$

Основни операции с матрици

Транспониране

Транспонирането е унарна операция. Транспонирата матрица се бележи с A^T и се получава, като в матрицата A редовете се запишат като стълбовете, т.е. а^T_ij = а_ji. Пример:

$$A_{m\times n}={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\10&11&12\end{bmatrix}},\quad A_{n\times m}^{T}={\begin{bmatrix}1&4&7&10\\2&5&8&11\\3&6&9&12\end{bmatrix}}$$

Събиране

Събират се само матрици от един и същи ред. Елементите на новополучената матрица (сбора), са равни на сбора на съответните елементи от събираните матрици:

$${\begin{bmatrix}1&2,7&0\\3&1&x\\\pi &2,4&x\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2,5&3,3&0\\2&1&2x\\4&2,4&y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3,5&6&0\\5&2&3x\\4+\pi &4,8&x+y\end{bmatrix}}$$

Свойства:

• комутативност: ${\mathsf {A+B=B+A}}$
• асоциативност: ${\mathsf {A+(B+C)=(A+B)+C}}$
• дистрибутивност: ${\mathsf {(c+d)A=cA+dA}}$, ${\mathsf {c(A+B)=cA+cB}}$
• неутралност на нулевата матрица: ${\mathsf {A+0=0+A=A\forall A}}$
• ${\mathsf {A+C=B+C}}$, където A и B са еднакви матрици
• противоположната матрица на матрицата А означаваме с –А, за която е в сила ${\mathsf {A+(-A)=0}}$
• разликата на матриците А и В е матрицата ${\mathsf {C=A+B}}$, като към А прибавим противоположната матрица на В, тоест ${\mathsf {A-B=A+(-B)}}$:

$${\begin{bmatrix}2&3&1\\1&2&3\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}3&-2&1\\0&5&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&1&2\\1&7&5\end{bmatrix}}$$

Умножение на матрица с число (скалар)

Всеки елемент на матрицата се умножава с числото:

$$\lambda A={\begin{bmatrix}\lambda a_{11}&\lambda a_{12}&\cdots &\lambda a_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda a_{m1}&\lambda a_{m2}&\cdots &\lambda a_{mn}\end{bmatrix}}$$

Свойства:

• ${\mathsf {1A=A}}$
• ако ${\mathsf {c,d\in \mathbb {R} }}$, то ${\mathsf {c(dA)=(cd)A}}$
• ако А и В са еднакви матрици, то ${\mathsf {{\mathit {k}}A={\mathit {k}}B}}$

Умножение на матрици

Умножението на матриците A и B е дефинирано само когато A е съгласувана с B, т.е., когато броят на стълбовете на A е равен на броя на редовете на B. Произведението C_{m x p} на A_{m x n} и B_{n x p} се дефинира с равенството:

$$c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{in}b_{nj}$$

т.е. всеки ред на матрицата A се умножава последователно с всеки от стълбовете на B, като всяко от тези произведения дава един елемент от реда на матрицата C с номер, съвпадащ с този на A. Първият ред на A, умножен с всички стълбове на B, дава всички елементи от първия ред на C и т.н. Пример:

$${\begin{bmatrix}1&3\\0&-2\\4&1\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}7&9\\5&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1*7+3*5&1*9+3*2\\0*7+(-2)*5&0*9+(-2)*2\\4*7+1*5&4*9+1*2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}22&15\\-10&-4\\33&38\end{bmatrix}}$$

Свойства:

• две квадратни матрици могат да бъдат умножени само ако са от един и същи ред
• комуникативност – не е в сила за произволни матрици
• асоциативност: ${\mathsf {A(BC)=(AB)C}}$
• дистрибутивност: ${\mathsf {A(B+C)=AC+BC}}$

Детерминанта

Детерминантата е свойство на всяка квадратна матрица, при което тя може да се съпостави на едно число |A|:

${\mathsf {|A|}}=\Delta _{0}=\textstyle \sum (-1)^{\mathit {I}}a_{1}k_{1}.a_{2}k_{2}\dots a_{n}k_{n}\displaystyle$,

където сумата е по всички пермутации (k₁k₂ …k_n) на числата 1,2,…,n и I е броят на инверсиите в съответната пермутация. Инверсия в пермутация – $k_{i}>k_{j}$, при $i<j$.

В сила е нотацията ${\mathsf {|A|}}=det[A]=\Delta _{0}$.

Пресмятане на детерминанта

За детерминанта от първи ред:

$$\det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a$$

За детерминанта от втори ред:

$$\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc$$

За детерминанта от трети ред:

$$\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}=aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg$$

В останалите случаи, най-често свеждаме матрицата до горно или долно триъгълна чрез елементарни преобразувания (умножение на ред или стълб с дадено число и прибавяне на реда към друг ред (или прибавяне на стълб към друг стълб)).

$$\det {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\cdots &\cdots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}=a_{11}a_{22}...a_{nn}.$$

Детерминанта от n-ти ред се пресмята чрез развитие по ред или по стълб – една матрица от n-ти ред се получават n детерминати от (n-1)-ви ред.

Външни препратки

• В Общомедия има медийни файлове относно Матрица (математика)
• ((en)) Статия „Матрица“ в Wolfram MathWorld