Симетрична матрица

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето

Симетричната матрица е квадратна матрица, чиито елементи са симетрични относно главният диагонал. Следователно, симетрична матрица е такава матрица , за която .

Това означава, че симетричната матрица е равна на нейната транспонирана матрица:

Примери[редактиране | редактиране на кода]

Свойства[редактиране | редактиране на кода]

Симетричната матрица е винаги квадратна.

Сумата и разликата от две симетрични матрици е също симетрична матрица

Всяка симетрична матрица A с реални елементи е притежава следните свойства:

  • от нейните собствени вектори винаги може да се състави ортонормиран базис
  • симетричната матрица A може да се приведе в диагонален вид: , където

е ортогонална матрица, стълбовете на която образуват ортонормиран базис, съставен от собствените вектори на матрицата А, а D е диагонална матрица, чиито диагонални елементи са собствените стойности матрицата A.

  • Ако симетричната матрица A има една единствена собствена стойност , то тя във всеки базис има диагонален вид: , където е е единична матрица.

Симетризуеми матрици[редактиране | редактиране на кода]

Казваме че матрицата е симетризуема ако съществуват инвертируема диагонална матрица и симетрична матрица за които е изпълнено

Транспонираната нa симетризуема матрица е също симетризуема, тъй като и е симетрична матрица. Матрицата е симетризуема ако и само ако се изпълняват следните условия:

  1. и съответно за всички
  2. за всяка крайна последователност

Положително (отрицателно) определени матрици[редактиране | редактиране на кода]

Симетричната матрица с размер се нарича положително определена ако за се изпълнява условието

Условията една симетрична матрица да е отрицателно, неположително и неотрицателно определена се формулират аналогично със соответстващо изменение на знака на неравенството.

За получаване на вида на определенност на симетрична матрица може да се използва критерият на Силвестър.

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  • Константинов, М. М.. Елементи на линейната алгебра: Вектори и матрици. С. Университет по архитектура, строителство и геодезия, 2000. с. 300.
  • Harville, D. A.. Matrix Algebra from Statistician’s Perspective. Softcover, 1997.
  • Курош, А. Г.. Курс Высшей алгебры. M. Наука, 1975. с. 431.