Матрица (математика)

от Уикипедия, свободната енциклопедия
(пренасочване от Квадратна матрица)
Направо към навигацията Направо към търсенето
Емблема за пояснителна страница Вижте пояснителната страница за други значения на матрица.

Означение на елементите в матрица m × n

В математиката, матрица представлява правоъгълна таблица от елементи, най-често числа (числова матрица). Елементите на матрицата могат да бъдат от произволно поле (например реални или рационални числа) или пръстен. Матрица от тип m × n над поле F се нарича матрица, елементите на която са от полето F и има m реда и n стълба.

Пример за матрица 4 × 3 над полето на реалните числа:

Множеството от матриците над поле F от тип m × n им може да се запише като Fmxn. Обикновено матриците се отбелязват с главни латински букви – например A, а елементите на матрицата се записват със съответната малка или главна буква – aij или Aij, като първият индекс показва номера на реда, а вторият – номера на стълба, на който се намира елементът в матрицата.

Две матрици са равни, когато са от един и същи тип и съответните им елементи са равни.

Матрицата е квадратна (от ред n), когато има равен брой редове и стълбове (n на брой).

В една квадратна матрица от ред n, елементите с равни индекси (aii, i=1.. n) образуват главния ѝ диагонал:

Елементите, сборът от индексите на които е равен на n+1 (aij, i=1.. n, j=n..1), образуват страничния диагонал:

Видове матрици[редактиране | редактиране на кода]

  • триъгълна матрица – квадратна матрица, при която елементите под или над главния диагонал са нули, съответно горна или долна триъгълна матрица:

  • диагонална матрица – квадратна матрица, чиито елементи, неучастващи в главния диагонал, са нули:

  • скаларна матрица – диагонална матрица, елементите от главния диагонал на която са равни:

  • единична матрица – скаларна матрица с елементи от главния диагонал равни на единица:

  • симетрична матрица – квадратна матрица, за която е изпълнено :

Основни операции с матрици[редактиране | редактиране на кода]

Транспониране
Транспонирането е унарна операция. Транспонирата матрица се бележи с AT и се получава, като в матрицата A редовете се запишат като стълбовете, т.е. аTij = аji. Пример:

Събиране
Събират се матрици от един и същи тип. Елементите на новополучената матрица (сбора), са равни на сбора на съответните елементи от събираните матрици:

Умножение на матрица с число
Всеки елемент на матрицата се умножава с числото:

Умножение на матрици
Умножението на матриците A и B е дефинирано само когато A е съгласувана с B, т.е., когато броят на стълбовете на A е равен на броя на редовете на B. Произведението Cm x p на Am x n и Bn x p се дефинира с равенството:

т.е. всеки ред на матрицата A се умножава последователно с всеки от стълбовете на B, като всяко от тези произведения дава един елемент от реда на матрицата C с номер, съвпадащ с този на A. Първият ред на A, умножен с всички стълбове на B, дава всички елементи от първия ред на C и т.н. Пример:

Детерминанта[редактиране | редактиране на кода]

Детерминантите на квадратни матрици от 1 на 1 до 3 на 3 са:

В останалите случаи, най-често свеждаме матрицата до горно или долно триъгълна чрез елементарни преобразувания (умножение на ред или стълб с дадено число и прибавяне на реда към друг ред (или прибавяне на стълб към друг стълб)).

Външни препратки[редактиране | редактиране на кода]