Детерминанта

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Детерминанта в алгебрата е функция, съпоставяща на квадратна матрица над комутативен пръстен с единица K елемент от пръстена – многочлен, в който всеки едночлен е произведение от по един множител от всеки ред и стълб на матрицата с определен знак в зависимост от четността на пермутацията от елементи.

Детерминантата е важна характеристика на матриците с разнообразно приложение в линейната алгебра, комплексния и функционалния анализ, аналитичната и диференциалната геометрия и др.

Начини за изчисляване[редактиране | редактиране на кода]

По дефиниция детерминантата на една матрица е равна на:

където t е броят на инверсиите в пермутацията (i, j, … , k).

Чрез изваждане пред скоби на даден елемент aij в скобите остава съответното адюнгирано количество Aij. Съгласно теоремата на Лаплас детерминантата може да се развие по произволен ред i или по стълб j:

При матрица 2 × 2, формулата за намиране на детерминанта е:

Ако имаме матрица A – 3 × 3, намираме детерминантата |A| така:

Всяка детерминанта на матрица 2 × 2 се нарича минор на матрицата. Същата процедура може да се използва, за да се намери детерминантата на матрица 4 × 4, 5 × 5 и така нататък.

Свойства[редактиране | редактиране на кода]

Ако стълбовете на матрицата се разглеждат като вектори от линейно пространство, то антисиметричната полилинейна форма D върху пространството M, която приема стойност единица върху базисните вектори на пространството, е детерминанта. Такова определение е коректно, защото съществува единствена такава форма[1].

  • Ако ред (стълб) от матрицата се умножи с число, то детерминантата се умножава със същото.
  • Ако се разменят местата на два реда, детерминантата мени знака си.
  • Ако ред се умножи с число и се прибави към друг ред, детерминантата не се променя.

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. Б.Л. ван дер Варден, Алгебра, второ издание, изд. „Наука“, Москва, 1979, В 20203 – 034/053(02)-79 31 – 79; стр. 98