Метрично пространство

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В математиката под метрика се разбира функция задаваща разстоянието между елементите на дадено множество. Метрично пространство е множество снабдено с метрика.

Формално определение[редактиране | edit source]

Една функция \rho се нарича метрика, ако чрез нея на всяка наредена двойка (x,y) от елементи x и y на множеството X се съпоставя реалното число \rho(x,y) и за всеки x, y, z \!^\in X са изпълнени следните три условия:[1]

  1. \rho(x,y) = 0 тогава и само тогава, когато x=y (аксиома за идентичност)
  2. \rho(x,y)=\rho(y,x) (аксиома за симетричност)
  3. \rho(x,y) \!^\leq \rho(x,z) + \rho(z,y) (аксиома на триъгълника или неравенство на триъгълника)

Тези аксиоми отразяват интуитивното понятие за разстояние. Например, разстоянието трябва да е неотрицателна величина (т.е. \rho(x,z) \!^\geq 0 за всеки две x и z, което следва от аксиомата на триъгълника и аксиомата за симетричност при x=y). Също така, разстоянието от x до y е същото, както и от y до x. Неравенството на триъгълника означава, че от x до y може да се стигне по по-къс път, или поне не по по-дълъг, отколкото ако отначало се премине от x до z, а след това от z до y.

Наредената двойка (X,\rho) се нарича метрично пространство.

Понятието е въведено от Морис Фреше през 1906 г..[2]

Литература[редактиране | edit source]

  • Александров П., Введение в теорию множеств и общую топологию, Издательство "Наука", Москва, 1977

Външни препратки[редактиране | edit source]

Бележки[редактиране | edit source]

  1. Metrischer Raum в: Lexikon der Mathematik, Spektrum-Akademischer Verlag, 2004, ISBN 3-827-41159-9
  2. Метрическое пространство в: Виноградов И.,Математическая энциклопедия, т. 3, 1985