Многомащабно приближение

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Многомащабно приближение (английски: multiresolution analysis (MRA)) е главният метод за изграждане на Дискретно уейвлет преобразувание с практическо приложение, както и обосновката за алгоритъма за бързото уейвлет преобразование (БВП). Въведено е през 1988/89 от Стефан Малат и Ив Мейе.

Определение[редактиране | редактиране на кода]

Многомащабно приближение в пространството се състои от поредица от вложени едно в друго линейни подпространства

които изпълняват дадени отношения на самоподобие във времевата/пространствената област и мащабната/честотната област, както и пълнота и условия за регулярност.

  • Самоподобие във времевата област изисква всяко подпространство Vk да бъде инвариантно спрямо транслации с целочислени кратни на 2— k. Другояче казано за всяко съществува , такова че .
  • Самоподобие в мащабната област изисква всички подпространства да са мащабирани във времето копия едно на друго с коефициент на мащабиране съответно 2l—k. С други думи за всяко съществува , такова че . Ако f е с ограничен носител, то носителят на g се смалява, т.е. разделителната способност на l-тото подпространство е по-вискока, отколкото на k-тото.
  • Регулярността изисква всяко изначално подпространство V0 да бъде породено от линейната обвивка на целочислените транслации на една или краен брой пораждащи функции или . Тези целочислени транслации трябва да бъдат базис на подпространството . Пораждащите функции се наричат още мащабиращи функции или уейвлети-бащи. В повечето случаи на тях се поставя условие да са отчасти непрекъснати с компактен носител.
  • Пълнотата изисква вложени едно в друго подпространства да покриват цялото пространство, т.е. обединението им да е навсякъде гъсто в . Освен това се изисква те да не са редундантни, т.е. сечението им да съдържа само нулевия елемент.

Важни заключения[редактиране | редактиране на кода]

В случая на един непрекъснат уейвлет-баща с компактен носител, чиито транслации са ортогонални, могат да се извлекат няколко следствия. Доказателството за съществуването на такъв клас от функции дължим на Ингрид Добеши.

Понеже съществува крайна редица от коефициенти , за и за , такива че

Дефинирайки друга функция, наречена уейвлет-майка или просто уейвлет,

се вижда, че пространството , дефинирано като линейната обвивка на целочислените транслации на уейвлета-майка, е ортогоналното допълващо пространство на V0 в V1. Или по друг начин е ортогоналната сума на W0 и V0. От самоподобието следва, че съществуват мащабирани копия Wк на W0, а от пълнотата, че

Следователно множеството

е изброим пълен ортонормиран базис в .

Виж още[редактиране | редактиране на кода]

Литература[редактиране | редактиране на кода]

Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното Лиценз за свободна документация на ГНУ Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Multiresolution analysis“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница. Вижте източниците на оригиналната статия, състоянието ѝ при превода, и списъка на съавторите.