Непрекъснато уейвлет преобразуване

В математиката, непрекъснато уейвлет преобразуване (CWT) се ползва за разлагане на непрекъсната функция по уейвлети. За разлика от преобразованието на Фурие, непрекъснатото уейвлет преобразуване осигурява възможност за построяване на време-честотно представяне на някакъв сигнал, при което се достига много добро локализиране и по време, и по честота. Непрекъснатото уейвлет преобразуване на една функция $x(t)$ за мащаб или скала (a>0) $a\in \mathbb {R^{+*}}$ и за коефициент на транслация $b\in \mathbb {R}$ се представя чрез следния интеграл:

$X_{w}(a,b)=|a|^{-1/2}\int dtx(t){\overline {\psi }}\left({\frac {t-b}{a}}\right)$,

където $\psi (t)$ е непрекъсната, и в областта на времето, и в областта на честотата функция, наричана уейвлет майка (матерински уейвлет), като чертата отгоре означава комплексно спрягане. Основната цел на уейвлета майка е да осигури функция източник за генериране на дъщерни уейвлети, които всъщност са транслирани и мащабирани версии на уейвлета майка. За да се възстанови оригиналният сигнал $x(t)$ може да бъде използвано следното обратно непрекъснато уейвлет преобразуване (първа форма).

$x(t)=C_{\psi }^{-1}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }X_{w}(a,b){\frac {1}{|a|^{1/2}}}{\tilde {\psi }}\left({\frac {t-b}{a}}\right)\,db\ {\frac {da}{a^{2}}}$

${\tilde {\psi }}(t)$ е дуална уейвлет функция на $\psi (t)$ и

$C_{\psi }=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\overline {\hat {\psi }}}(\omega ){\hat {\tilde {\psi }}}(\omega )}{|\omega |}}\,d\omega$

е константа на допустимост и където ${\hat {\psi }}$ означава преобразование на Фурие от $\psi$. В някои случаи ${\tilde {\psi }}(t)=\psi (t)$ и тогава константата на допустимост става:

$C_{\psi }=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\left|{\hat {\psi }}(\omega )\right|^{2}}{\left|\omega \right|}}d\omega$

Обикновено тази константа се нарича уейвлет константа за допустимост. Уейвлет, чиято константа за допустимост удовлетворява

$0<C_{\psi }<\infty$

се нарича допустим уейвлет. Допустимият уейвлет предполага, че ${\hat {\psi }}(0)=0$, така че допустимият уейвлет трябва да има интеграл нула. За възстановяване на оригиналната функция (сигнал) $x(t)$, може да се използва и следното обратно непрекъснато уейвлет преобразуване (втора форма)

$x(t)={\frac {1}{2\pi {\overline {\hat {\psi }}}(1)}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a^{2}}}X_{w}(a,b)\exp \left(i{\frac {t-b}{a}}\right)\,db\ da$.

При това обратно преобразуване се предполага, че уейвлетът трябва да бъде определен като

$\psi (t)=w(t)\exp(it)$,

където $w(t)$ е прозорец. Така дефинирания уейвлет може да бъде наречен анализиращ уейвлет, защото допуска време-честотен анализ. За даден анализиращ уейвлет не е необходимо да бъде допустим уейвлет.

Коефициент на мащаба

Коефициентът на мащаба $a$ разтяга или свива сигнала. Когато коефициентът на мащаб е относително малък, сигналът е по-свит (по-концентриран), което от своя страна води до получаване на по-детайлна графика. Все пак, налице е този недостатък, че ниският коефициент на мащаба не е за цялата продължителност на сигнала. От друга страна, когато коефициентът на мащаб е висок, сигналът се разпъва, което означава, че получената графика ще бъде представена с по-ниска детайлност. Но това продължава за цялата продължителност на сигнала.

Свойства на непрекъснатото уейвлет преобразуване

По определение непрекъснатото уейвлет преобразуване е конволюция между последователността от входните данни и набора от функции, генерирани от уейвлета-майка. Конволюцията може да се пресметне с помощта на алгоритъма за бързо преобразуване на Фурие БПФ (FFT). Обикноквено, функцията на изхода, $X_{w}(a,b)$, т.е. след конволюцията ще приема стойности в реалната област, освен в случаите когато уейвлетът майка е комплексна функция. Когато уейвлетът майка е комплекснозначна, тогава след непрекъснато уейвлет преобразуване на функцията ще се получи комплекснозначна функция. Спектралната плътност на мощността (енергийният спектър) на непрекъснатото уейвлет преобразуване може да се представи като $|X_{w}(a,b)|^{2}$.

Приложения на уейвлет преобразуването

Едно от най-често срещаните приложениия на уейвлет преобразуването е компресирането на изображения. Предимството на използването на уейвлет базирано кодиране при компресирането на изображения е това, че то осигурява съществено подобряване на качеството на картината при по-високи нива на компресиране в сравнение с традиционните техники. Тъй като уейвлет трансформацията има способността да разлага сложна информация и шаблони (петърни) в елементарни форми, то тя често се ползва при акустичната обработка и в областта на разпознаването на образи. Уейвлет преобразуванията могат да се прилагат и в следните научноизследователски области: откриване на ръбове и ъгли, решаване на частни диференциални уравнения, откриване на преходни процеси, проектиране на филтри, анализ на електрокардиограми (ЕКГ-анализ), анализ на текстури, анализ на бизнес информация, анализ на походката.

Непрекъснатото уейвлет преобразуване (CWT) е много ефективно при определянето на коефициента на затихване (коефициента на демпфиране) в колебателните сигнали (например при идентификация на затихване, демпфиране в динамичните системи). CWT е също така много устойчиво на наличието на шум в сигнала.

Източници

• Ingrid Daubechies, Ten Lectures on Wavelets, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992, ISBN 0-89871-274-2