Непрекъснато уейвлет преобразуване

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето

В математиката, непрекъснато уейвлет преобразуване (CWT) се ползва за разлагане на непрекъсната функция по уейвлети. За разлика от преобразуването на Фурие, непрекъснатото уейвлет преобразуване осигурява възможност за построяване на време-честотно представяне на някакъв сигнал, при което се достига много добро локализиране и по време, и по честота. Непрекъснатото уейвлет преобразуване на една функция за мащаб или скала (a>0) и за коефициент на транслация се представя чрез следния интеграл

,

където е непрекъсната, и в областта на времето, и в областта на честотата функция, наричана уейвлет-майка(матерински уейвлет), като чертата отгоре означава комплексно спрягане. Основната цел на уейвлетa майка е да осигури функция източник за генериране на дъщерни уейвлети, които всъщност са транслирани и мащабирани версии на уейвлетa майка. За да се възстанови оригиналния сигнал може да бъде използванo следното обратнo непрекъснато уейвлет преобразуване (първа форма).


е дуална уейвлет функция на и

е константа на допустимост, и където означава преобразувание на Фурие от . В някои случаи, , и тогава константата на допустимост става

Обикновено, тази константа се нарича уейвлет константа за допустимост. Уейвлет, чиято константа за допустимост удовлетворява

се нарича допустим уейвлет. Допустимият уейвлет предполага, че , така че допустимият уейвлет трябва да има интеграл нула. За възстановяване на оригиналната функция (сигнал) , може да се иползва и следното обратно непрекъснато уейвлет преобразуване (втора форма)

.

При това обратно преобразуване се предполага, че уейвлета трябва да бъде определен като

,

където е прозорец. Така дефинирания уейвлет може да бъде наречен анализиращ уейвлет, защото допуска време-честотен анализ. За даден анализиращ уейвлет не е необходимо да бъде допустим уейвлет.

Коефициент на мащаба[редактиране | редактиране на кода]

Коефициентът на мащаба разтяга или свива сигнала. Когато коефициентът на мащаб е относително малък, сигналът е по-свит (по-концентриран), което от своя страна води до получаване на по-детайлна графика. Все пак, налице е този недостатък, че ниският коефициент на мащаба не е за цялата продължителност на сигнала. От друга страна, когато коефициентът на мащаб е висок, сигналът се разпъва, което означава, че получената графика ще бъде представена с по-ниска детайлност. Но пък това продължава за цялата продължителност на сигнала.

Свойства на непрекъснатото уейвлет преобразуване[редактиране | редактиране на кода]

По определение, непрекъснатото уейвлет преобразуване е конволюция между последователността от входните данни и набора от функции, генерирани от уейвлета-майка. Конволюцията може да се пресметне с помощта на алгоритъма за бързо преобразуване на Фурие БПФ (FFT). Обикноквено, функцията на изхода, , т.е. след конволюцията ще приема стойности в реалната област, освен в случаите, когато уейвлета-майка е комплексна функция. Когато уейвлет-майката е комплекснозначна, тогава след непрекъснато уейвлет преобразуване на функцията ще се получи комплекснозначна функция. Спектралната плътност на мощността (енергийният спектър) на непрекъснатото уейвлет преобразуване може да се представи като .

Приложения на уейвлет преобразуването[редактиране | редактиране на кода]

Едно от най-често срещаните приложениия на уейвлет преобразуването е компресирането на изображения. Предимството на използването на уейвлет базирано кодиране при компресирането на изображения е това, че то осигурява съществено подобряване на качеството на картината при по-високи нива на компресиране в сравнение с традиционните техники. Тъй като уейвлет трансформацията има способността да разлага сложна информация и шаблони(петърни) в елементарни форми, то тя често се ползва при акустичната обработка и в областта на разпознаването на образи. Нещо повече, уейвлет преобразуванията могат да се прилагат в следните научноизследователски области: откриване на ръбове и ъгли, решаване на частни диференциални уравнения, откриване на преходни процеси, проектиране на филтри, анализ на електрокардиограми (ЕКГ-анализ), анализ на текстури, анализ на бизенс информация, анализ на походката. [1] Непрекъснатото уейвлет преобразуване (CWT) е много ефективно при определянето на коефициента на затихване (коефициента на демпфиране) в колебателните сигнали (например при идентификация на затихване, демпфиране в динамичните системи). CWT е също така много устойчиво на наличието на шум в сигнала.[2]


Източници[редактиране | редактиране на кода]

  • Ingrid Daubechies, Ten Lectures on Wavelets, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992, ISBN 0-89871-274-2
  • "Novel method for stride length estimation with body area network accelerometers", IEEE BioWireless 2011, pp. 79-82
  • Slavic, J and Simonovski, I and M. Boltezar, Damping identification using a continuous wavelet transform: application to real data