Нютонов бином

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Биномната теорема е математическа теорема за разлагането на двучлен, повдигнат на степен.

Опростената форма на теоремата за естествени стойности на степента е:

(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^ky^{n-k}

където n е естествено число и

{n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}

са биномните коефициенти, а n! е факториел на n.

Тази формула обикновено е приписвана на Блез Паскал, който я описва през 17 век. Всъщност тя е известна още на китайския математик Ян Хуй през 13 век, на иранския математик Омар Хаям през 11 век и дори на индийския математик Пингала през 3 век пр.н.е. Исак Нютон прави важно обобщение на формулата за произволна степен:

{(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^k y^{r-k}}

където r е произволно комплексно число и коефициентите се получават с

{r \choose k}={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n),

като по определение k! е факториелът на k, и 0!  = 1.

Формули за съкратено умножение[редактиране | edit source]

Формулите за съкратено умножение са биноми повдигнати на дадена степен като тяхното решаване става по посочените горе математически формули.

Формула от вида (а+b)5[редактиране | edit source]

Директно решение: (a+b)5=(a+b)3.(a+b)2= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3).(a2 + 2ab + b2)= a5 + 2a4b + a3b2 + 3a4b + 6a3b2 + 3a3b3 + 3a3b2 + 6a2b3 +3ab4 + a2b3 + 2ab4 + b5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 +5ab4 + b5.

Решение с използването на Нютоновия бином:

(a+b)^5 = \sum_{i=0}^5  {5 \choose i} a^ib^{5-i} =
 = {5 \choose 0} a^0b^{5-0} + {5 \choose 1} a^1b^{5-1} + {5 \choose 2} a^2b^{5-2} + {5 \choose 3} a^3b^{5-3} + {5 \choose 4} a^4b^{5-4} + {5 \choose 5} a^5b^{5-5} =
 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5 ab^4 + b^5 \,

т.е. същата формула, но по много по-лесен начин.

n \choose k е комбинация на k между n елемента, т.е. {n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}, например, {5 \choose 3} =  {5! \over 3!2!} = 10

Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното Лиценз за свободна документация на ГНУ Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Binomial theorem“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.