Обобщена обратност

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето

В математиката, в частност – алгебрата, обобщената обратност на елемент х е елемент y , който има някои от свойствата на обратност, но не притежава всички от тях. Обобщената обратност може да бъде определена във всяка математическа структура, която включва асоциативна мултипликация, т.е. е в полугрупи. Тази статия описва обобщените обратности на матрицата .

Формално дефинирано, за матрицата и матрицата , е обобщена обратна на , ако отговаря на условието .

Целта на изграждане на обобщена обратна матрица е да се получи матрица, която може да служи като обратна връзка в известен смисъл за по-голям брой матрици, което не важи за обратната матрица. Обобщена обратност съществува за произволна матрица, а когато матрицата има редовна обратност, то тогава тази обратност е уникалната обобщена обратност.

Мотивация[редактиране | редактиране на кода]

Да разгледаме линейната система

където  е матрица и е колонното пространство на . Ако е неособена, тогава  ще бъде решение на системата. В този случай, К. Р. Рао и С. К. Митра наричат  редовна обратност на . Трябва да се има предвид, че ако е неособена, то тогава

Да предположим, че  е особена, или . Тогава имаме нужда от подходящ кандидат  от ред такъв, че за всички ,

Т.е.  е решение на линейната система .

С други думи, нуждаем се от матрицата  от ред така, че

По този начин можем да определим общата обратност или g-братност както следва: за дадена  матрица , матрицата  се нарича обобщена обратна на , ако

Видове[редактиране | редактиране на кода]

Следват условията на Пенроуз за определяне на различните обобщени обратности на и

където  е транспониране на спрегнато. Ако отговаря на първото условие, то тогава тя е обобщено обратна на . Ако отговаря на първите две условия, тогава тя е рефлективно обобщено обратна на . Ако тя отговаря на четирите условия, то тя е псевдообратна на . Псевдообратната понякога се нарича Мур-Пенроуз обратна, поради приноса на Д. З. Мур и Роджър Пенроуз. Когато е неособена, е уникална, но във всички други случаи има безкраен брой матрици, които отговарят на условието (1). Въпреки това, Мур-Пенроуз обратността е уникална.

Има и други видове обобщена обратност:

  • Едностранна обратност (дясна или лява обратност)
    • Дясна обратност: Ако матрицата  има размери  и , то тогава съществува  матрица  която се нарича дясно обратна на  така, че , където  е единична матрица.
    • Лява обратност: Ако матрицата  има размери и , то тогава съществува матрица , която се нарича ляво обратна на  така, че , където е единична матрица.
  • Бот–Дафина обратност
  • Дражин обратност

Примери[редактиране | редактиране на кода]

Рефлективна обобщена обратност[редактиране | редактиране на кода]

Нека

Където , е особена и не е регулярно обратна. Въпреки това, и отговарят на условията (1) и (2), но не и на (3) и (4). Следователно,  е рефлективно обобщена обратност на .

Еднопосочна обратност[редактиране | редактиране на кода]

Нека

Където  не е квадратна, а няма регулярни обратности. Въпреки това, е дясно обратна на . Матрицата няма лява обратност.

Изграждане[редактиране | редактиране на кода]

Следните характеристики са лесни за потвърждение:

  1. Дясна обратност на неквадратна матрица .
  2. .
  3. Ако  е рангова факторизация, то тогава  е g-обратна на , където  е дясна обратност на  и  лява обратност на .
  4. Ako  за която и да е необратна матрица  и , то тогава  е обобщена обратност на  за случайни  и .
  5. Нека  бъде от ранг . Без загуба на обобщеност, нека 
където  е неособена подматрица на . Тогава,
е g-обратна на .

Приложения[редактиране | редактиране на кода]

Всяка обобщена обратност може да се използва, за да се определи дали система от линейни уравнения има решения и ако има, да върне всички тях. Ако някакви решения съществуват за линейната система n × m

,

с вектор  от неизвестни и вектор от константи, всички решения са дадени от

,

параметрично на произволен вектор , където е която и да било обобщена обратност на . Съществуват решения тогава и само тогава, когато  е решение, което е вярно тогава и само тогава, когато .

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  • Generalized inverses: Theory and applications. 2nd. New York, NY, Springer, 2003.
  • Generalized Inverses of Linear Transformations. Dover, 1991.
  • James, M.. The generalised inverse. // Mathematical Gazette 62. June 1978. DOI:10.2307/3617665. с. 109 – 114.
  • Nakamura, Yoshihiko. Advanced Robotics: Redundancy and Optimization. Addison-Wesley, 1991.
  • Generalized Inverse of Matrices and its Applications. New York, John Wiley & Sons, 1971. с. 240.
  • Zheng, B и др. Generalized inverse A(2)T,S and a rank equation. // Applied Mathematics and Computation 155. 2004. DOI:10.1016/S0096-3003(03)00786-0. с. 407 – 415.