Постулат на Бертран

Жозеф Луи Франсоа Бертран

Постулатът на Бертран в теорията на числата е теорема, според която за всяко цяло число $n>3$, винаги съществува поне едно просто число $p$, за което

$n<p<2n-2.$

По-малко ограничителна формулировка гласи, че за всяко $n>1$, винаги има поне едно просто число $p$ такова, че

$n<p<2n.$

Друга формулировка, където $p_{n}$ е $n$ -тото просто число, е: за $n\geq 1$

$p_{n+1}<2p_{n}.$

Това твърдение е изказано за пръв път от Жозеф Бертран (1822 – 1900) през 1845 г. Бертран е успял да докаже твърдението си за всички цели числа $2\leq n\leq 3\,000\,000$.

Неговата хипотеза е напълно доказана от Чебишов (1821 – 1894) през 1852 г. и така постулатът се нарича също теорема на Бертран–Чебишов или теорема на Чебишов. Теоремата на Чебишов може да се посочи и като връзка с $\pi (x)$, функцията за броене на прости числа (брой прости числа, по-малък или равен на $x$ ):

$\pi (x)-\pi {\bigl (}{\tfrac {x}{2}}{\bigr )}\geq 1$, за всяко $x\geq 2$ .

Теорема за простите числа

Теоремата за простите числа гласи, че броят на простите числа до x е приблизително равен на x/ln(x), така че ако заменим x с 2x, тогава виждаме, че броят на простите числа до 2x е асимптотично два пъти по-голям от броя на прости числа до x (членовете ln(2x) и ln(x) са асимптотично еквивалентни). Следователно, броят на простите числа между n и 2n е приблизително равен на n*ln( n ), когато n е достатъчно голямо. Т.е. има много повече прости числа в този интервал, отколкото са гарантирани от постулата на Бертран. Така излиза, че постулатът на Бертран е сравнително по-слаб от Теоремата за простите числа. От другата страна Теоремата за простите числа може да се разглежда доста по-задълбочено, докато постулатът на Бертран е формулиран по-простичко и се доказва по-лесно. А също така показва какво се случва за малки стойности на n. (В допълнение, теоремата на Чебишов е доказана преди Теоремата за простите числа и от тази гледна точка има исторически интерес.)