Пропорционалност

Пропорция в математиката се нарича отношението между две свързани величини, при което те винаги имат едно и също частно, равно на дадена константа. Тази константа се нарича коефициент на пропорционалност или пропорционална константа.

Права пропорционалност

Примери за графично представяне на права пропорционалност с различни коефициенти на координатна система. Пунктираната линия отговаря на коефициент 1, синята на 2, зелената на 1/2, червената на -1/4.

Ако едната променлива е винаги произведението на другата с константа (y = k * x), тогава казваме че двете променливи са правопропорционални и частното y/x е константа.

Свойства на пропорциите

• Обръщане на пропорцията. Ако $\ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$, то $\ {\frac {b}{a}}={\frac {d}{c}}$
• Основно свойство на пропорцията. Ако $\ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$, то $\ ad=bc$. Или „произведението на крайните членове на пропорцията е равно на произведението на средните ѝ членове.“ С помощта на това свойство могат да се докажат още следните свойства:
• Размяна на крайните и средните членове на пропорцията. Ако $\ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$, то

$\ {\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}$ (размяна на средните членове),

$\ {\frac {d}{b}}={\frac {c}{a}}$ (размяна на крайните членове).

• Увеличение и намаление на пропорцията. Ако $\ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$, то

$\ {\dfrac {a+b}{b}}={\dfrac {c+d}{d}}$ (увеличение на пропорцията),

$\ {\dfrac {a-b}{b}}={\dfrac {c-d}{d}}$ (намаляване на пропорцията).

• Съставяне на пропорции със събиране и изваждане. Ако $\ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$, то

$\ {\dfrac {a+c}{b+d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ (съставяне на пропорция със събиране),

$\ {\dfrac {a-c}{b-d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ (съставяне на пропорция с изваждане).

Примери

1. Ако тяло се движи с постоянна скорост V, то пътят който то изминава е право пропорционален на времето, за което ще го измине, като скоростта е коефициент на пропорционалност.
2. Обиколката на окръжност е право пропорционална на нейния диаметър, с коефициент на пропорционалност пи.
3. Дължините на съответните страни на два подобни триъгълника са свързани в една и съща пропорция, наречена коефициент на подобие.
4. Законът на Шарл за зависимостта на температурата и налягането на идеален газ при постоянен обем:

${\frac {P}{T}}=const$, където:

P е налягането на газа;

T е температурата на газа (измерена в келвини).

Обратна пропорционалност

Графично представяне на обратна пропорция с коефициент 1 или хипербола - графика на функцията f(x) = 1/x. Виждат се двата клона, симетрични относно началото на координатната система.

В случай, че не частното, а произведението на две променливи е постоянно, тогава те се наричат обратнопропорционални и константата k = x * y съответно се нарича коефициент или константа на обратната пропорция.

Примери

1. Страните на правоъгълник с дадено лице са свързани с обратна пропорция, чийто коефициент е фиксираното лице на фигурата: a*b = S = const
2. Законът на Бойл - Мариот за изотермното поведение на идеален газ е по същество обратна пропорция, свързваща обема и налягането: PV = const