Собствени стойности и собствени вектори

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето
Червената стрелка сменя посоката си, но не и синята стрелка. Последната представлява собствен вектор и тъй като дължината ѝ също не се променя, то собствената ѝ стойност е 1.

В линейната алгебра, собствен вектор на даден линеен оператор е ненулев вектор, който се променя с даден скаларен коефициент при прилагане на трансформацията.[1] Съответстващата собствена стойност е коефициентът, чрез който се преобразува собствения вектор.

В геометричен смисъл, собственият вектор, съответстващ на реална ненулева собствена стойност, сочи в посоката, по която бива преобразуван, а собствената стойност е коефициентът, с който се преобразува. Ако собствената стойност е отрицателна, то посоката се обръща.[2] В по-широк смисъл, в многомерно векторно пространство, собственият вектор не се завърта. От друга страна, в едномерно векторно пространство, понятието за завъртане няма физичен смисъл.

Формално определение[редактиране | редактиране на кода]

Ако T е линеен оператор от векторно пространство V в поле F, а v е ненулев вектор в V, тогава v е собствен вектор на T, ако T(v) е скаларен множител на v. Това може да бъде записано така:

където λ е скалар в F, наричан собствена стойност, свързана с v.

Съществува пряко връзка между n-по-n квадратните матрици и линейните оператори от n-мерно векторно пространство при всеки базис от него. С други думи, в едно векторно пространство с краен брой измерения, е едно и също да се определят собствените стойности и собствените вектори, било то чрез матрици или чрез линейни оператори.[3][4]

Ако V е с краен брой измерения, горното уравнение е еквивалентно на:

където A е матричното представяне на T, а u е координатният вектор на v.

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. Собствени вектори и собствени стойности на линеен оператор.
  2. Burden, Richard L., Faires, J. Douglas. Numerical Analysis. 5th. Boston, Prindle, Weber and Schmidt, 1993. ISBN 0-534-93219-3. с. 401.
  3. Herstein, I. N.. Topics In Algebra. Waltham, Blaisdell Publishing Company, 1964. ISBN 978-1114541016. с. 228 – 229.
  4. Nering, Evar D.. Linear Algebra and Matrix Theory. 2nd. New York, John Wiley & Sons, 1970. с. 38.