Триъгълно число: Разлика между версии
Редакция без резюме |
|||
Ред 19: | Ред 19: | ||
Най-просто сумата от две последователни триъгълни числа е [[квадратно число]], със сума равна на квадрата от разликата на двете числа (следователно, разликата в двете е корен квадратен от сумата). Алгебрически, |
Най-просто сумата от две последователни триъгълни числа е [[квадратно число]], със сума равна на квадрата от разликата на двете числа (следователно, разликата в двете е корен квадратен от сумата). Алгебрически, |
||
: <math>T_n + T_{n-1} = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{\left(n-1\right)^2}{2} + \frac{n-1}{2} \right ) = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{n^2}{2} - \frac{n}{2} \right ) = n^2 = (T_n - T_{n-1})^2.</math> |
|||
: <math /> |
|||
Графично това се представя така: |
Графично това се представя така: |
||
{| class="" cellpadding="7" |
{| class="" cellpadding="7" |
||
Ред 28: | Ред 28: | ||
|} |
|} |
||
Има безкрайно количество триъгълни числа които са едновременно и квадратни числа; например, 1, 36, 1225. Някои от тях могат да бъдат получени с помощта на обикновена рекурсивна формула: |
Има безкрайно количество триъгълни числа които са едновременно и квадратни числа; например, 1, 36, 1225. Някои от тях могат да бъдат получени с помощта на обикновена рекурсивна формула: |
||
: <math /> с <math /> |
: <math>S_{n+1} = 4S_n \left( 8S_n + 1\right)</math> с <math>S_1 = 1.</math> |
||
⚫ | |||
: <math /> с <math /> и <math /> |
|||
⚫ | |||
: <math>S_n = 34S_{n-1} - S_{n-2} + 2</math> с <math>S_0 = 0</math> и <math>S_1 = 1.</math> |
|||
== Източници == |
== Източници == |
Версия от 09:03, 2 февруари 2018
Триъгълно число е общият брой еднакви елементи, които подредени образуват равностранен триъгълник, като в схемата в дясно. Триъгълното число n е сумата на точките в равностранен триъгълник със страни n точки и е равно на сумата от първите n естествени числа. Числото 0 (нулево триъгълно число) също се приема за триъгълно число на триъгълник със страна 0 (n=0). Първите (до n=36) триъгълни числа (последователност Шаблон:OEISОЭИСШаблон:OEIS са
- 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666...
Формула
Точната формула за триъгълно число е:
където е биномен коефицент. Той представлява броят на неповтарящите се двойки, които могат да бъдат избрани от n + 1 елемента.
Първото уравнение може да се илюстрира с помощта на следното доказателство. За всяко триъгълно число си представете полу-квадратно разположение на елементите, съответстващи на триъгълното число, като на фигурата по-долу. Копирайте тази подредба и я завъртете, създавайки правоъгълник с удвоен брой елементи, с размери . Триъгълно число е винаги точно половината от броя на елементите в такава фигура, или: . Например се илюстрира по този начин:
(зелени плюс жълти) означава, че (зелени). |
За доказателство се използва и математическата индукция.[1]
Връзката към други фигурни числа
Триъгълните числа имат широк спектър от връзки с другите фигурни числа.
Най-просто сумата от две последователни триъгълни числа е квадратно число, със сума равна на квадрата от разликата на двете числа (следователно, разликата в двете е корен квадратен от сумата). Алгебрически,
Графично това се представя така:
6 + 10 = 16 | 10 + 15 = 25 |
Има безкрайно количество триъгълни числа които са едновременно и квадратни числа; например, 1, 36, 1225. Някои от тях могат да бъдат получени с помощта на обикновена рекурсивна формула:
- с
Всички квадратни триъгълни числа се намират от рекурсията
- с и
Източници
- ↑ Andrews, George E. Number Theory, Dover, New York, 1971. pp. 3-4.
Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Triangular number в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.
ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни. |