Квадратно число

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето

В математиката, квадратно число или точен квадрат – това е число, получено при повдигането на квадрат (виж степенуване на втора степен) на цяло число; с други думи, това е произведението на едно число със себе си.[1] Например, 9 е квадратно число, тъй като може да бъде записано под формата 3 × 3.

Обичайно за квадратът на числото не се използва , а равностойността му , като се произнася „на квадрат“. Името квадрат произлиза от едноименната геометричната форма, защото да намерим квадрата на числото е същото, като да намерим лицето на квадрат със страна .

Квадратните числа са неотрицателни (т.е. са по-големи или равни на нула). За всяко естествено число квадратното число е , като e нулевото квадратно число (лицето на квадрат със страна 0). За едно число се казва, че е квадратно (или точен квадрат), когато неговият корен квадратен отново е цяло число. Например, , значи 9 е точен квадрат.

Положително цяло число, което няма делител точен квадрат различен от 1, се нарича безквадратно число.

Списък на квадратните числа[редактиране | редактиране на кода]

Точните квадрат (последователност A000290 в OEIS) до 602 = 3600 са:

02 = 0
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81
102 = 100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841
302 = 900
312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521
402 = 1600
412 = 1681
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401
502 = 2500
512 = 2601
522 = 2704
532 = 2809
542 = 2916
552 = 3025
562 = 3136
572 = 3249
582 = 3364
592 = 3481

Свойства[редактиране | редактиране на кода]

Числото m е квадратно, ако и само ако m на брой квадратчета образуват квадрат:

m = 12 = 1 Square number 1.png
m = 22 = 4 Square number 4.png
m = 32 = 9 Square number 9.png
m = 42 = 16 Square number 16.png
m = 52 = 25 Square number 25.png
Забележка: Белите полета между сините квадратчета служат само за подобряване на визуалното възприятие.

Не трябва да има интервали между реалните квадрати.

За единица площ се определя площта на единичния квадрат (1 × 1). Следователно, квадрат с дължина на страните n има площ (или лице) n2.

Изразът за n-тия квадрат е n2. Това също е равно на сумата от първите n нечетни числа, както се вижда от графиката по-горе, където на лицето на предишния квадрат, се добавят нечетен брой точки (показани в лилаво). Формулата е следната:

Така, например, 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Има няколко рекурсивни методи за изчисляване на квадратно число.

Разликата между всеки точен квадрат и неговия предшественик е , т.е. всеки следващ точен квадрат може да се изчисли по предишния посредством .

Освен това, n-тото квадратно число може да бъде изчислено с удвояване на квадрата на предишното (n − 1), изваждане на квадрата на по-предишното (n − 2) и добавянето на 2, защото . Например,

2 × 52 − 42 + 2 = 2 × 25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 62.

Число, което е с 1 по-малко от точен квадрат е винаги равно на произведението на и (например, 8 × 6 е равно на 48, а 72 е равно на 49). Така 3 е единственото просто число, по-малко с единица от точен квадрат.

Квадратно число също е сумата от две последователни триъгълни числа. Сумата на две последователни квадратни числа е центрирано квадратно число. Всеки нечетен точен квадрат е също и центрирано осмоъгълно число.

Още едно свойство на квадратното число (с изключение на 0) е, че има нечетен брой делители, докато другите естествени числа имат четен брой делители. Това е така, защото корен квадратен на числото образува двойка със себе си, за да се получи квадратното число, докато другите делители вървят по двойки.

В десетичната система, квадратът на число завършва само с цифрите 0, 1, 4, 5, 6 или 9, а именно:

  • ако последната цифра е 0, квадратът завършва с 0 (всъщност, последните две цифри са 00);
  • ако последната цифра е 1 или 9, то квадратът свършва на 1;
  • ако последната цифра е 2 или 8, то квадратът свършва на 4;
  • ако последната цифра е 3 или 7, то квадратът свършва на 9;
  • ако последната цифра е 4 или 6, то квадратът свършва на 6; и
  • ако последната цифра номер е 5, квадратът завършва на 5 (всъщност, последните две цифри са 25).

Квадратно число не може да бъде перфектно число.

При сумиране на първите n квадратни числа, има формула

Това се нарича квадратно пирамидално число. Първите са: (последователност A000330 в OEIS)

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201, ...

Всички четни степени (четвърта, шеста, осма и така нататък) представляват точни квадрати.

Специални случаи[редактиране | редактиране на кода]

  • На число във формат m5, където m са предходните цифри преди завършващото 5, неговият квадрат е във формат n25, където n = m(m + 1) и представлява числата преди 25. Например, квадратът на 65 може да бъде изчислен с n = 6 × (6 + 1) = 42, което значи, че квадратът на 65 е 4225.
  • Ако числото е във формат m0, където m са предходните цифри преди завършващата 0, неговият квадрат е n00, където n = m2. Например, квадратът на 70 е 4900.
  • Двуцифрено число във формат 5m, където 5 е десетицата, а m е единицата, има квадрат във формат aabb, където aa = 25 + m и bb = m2. Например за квадрат на 57 изчисляваме: 25 + 7 = 32 и 72 = 49, което означава, че 572 = 3249.
  • Ако числото завършва на 5, неговият квадрат ще завърши на 5; по същия начин и ако завършва на 25, 625, 0625, 90625, ... 8212890625, и т.н. Ако числото завършва на 6, квадратът му също завършва на 6, по същия начин и ако завършва на 76, 376, 9376, 09376, ... 1787109376. Например, квадратът на 55376 е 3066501376, като и двете завършват на 376. (Числата 5, 6, 25, 76 и т.н. са наречени автоморфни числа. Тяхната последователност е A003226 в OEIS.

Четни и нечетни квадратни числа[редактиране | редактиране на кода]

Квадратите на четните числа са четни (а в действителност кратни на 4), тъй като (2n)2 = 4n2.

Квадратите на нечетните числа са нечетни, тъй като (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.

От това следва и, че квадратните корени на четните квадратни числа са четни числа, а квадратните корени на нечетните квадратни числа – нечетни.

Тъй като всички четни квадратни числа се делят на 4, то четните числа във формат 4n + 2 не са точни квадрати.

Тъй като всички нечетни квадратни числа са във формат 4n + 1, то нечетните числа във формат 4n + 3 не са точни квадрати.

Източници[редактиране | редактиране на кода]

Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното Лиценз за свободна документация на ГНУ Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Square number“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница. Вижте източниците на оригиналната статия, състоянието ѝ при превода, и списъка на съавторите.