Триъгълно число: Разлика между версии
м Bot: Automated text replacement (-\|website +|publisher) |
|||
Ред 23: | Ред 23: | ||
Така ''n-''тото правоъгълно число е двойно по-голямо от ''n''-тото триъгълно число. |
Така ''n-''тото правоъгълно число е двойно по-голямо от ''n''-тото триъгълно число. |
||
* Сумата от две последователни триъгълни числа е [[квадратно число]]. |
* Сумата от две последователни триъгълни числа е [[квадратно число]]. |
||
То е равно на квадрата от разликата на двете числа (следователно |
То е равно на квадрата от разликата на двете числа (следователно разликата в двете е корен квадратен от сумата). Алгебрически: |
||
:<math>T_n + T_{n-1} = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{\left(n-1\right)^2}{2} + \frac{n-1}{2} \right) = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{n^2}{2} - \frac{n}{2} \right) = n^2 = (T_n - T_{n-1})^2</math> |
:<math>T_n + T_{n-1} = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{\left(n-1\right)^2}{2} + \frac{n-1}{2} \right) = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{n^2}{2} - \frac{n}{2} \right) = n^2 = (T_n - T_{n-1})^2</math> |
||
Ред 33: | Ред 33: | ||
|[[Файл:Square_number_25_as_sum_of_two_triangular_numbers.svg]] |
|[[Файл:Square_number_25_as_sum_of_two_triangular_numbers.svg]] |
||
|} |
|} |
||
Има безкрайно количество триъгълни числа които са едновременно и квадратни числа; например |
Има безкрайно количество триъгълни числа, които са едновременно и квадратни числа; например: 1, 36, 1225. Някои от тях могат да бъдат получени с помощта на обикновена рекурсивна формула: |
||
:<math>S_{n+1} = 4S_n \left(8S_n + 1\right)</math> с <math>S_1 = 1.</math> |
:<math>S_{n+1} = 4S_n \left(8S_n + 1\right)</math> с <math>S_1 = 1.</math> |
||
Всички квадратни триъгълни числа се намират от рекурсията |
Всички квадратни триъгълни числа се намират от рекурсията: |
||
:<math>S_n = 34S_{n-1} - S_{n-2} + 2</math> с <math>S_0 = 0</math> и <math>S_1 = 1</math> |
:<math>S_n = 34S_{n-1} - S_{n-2} + 2</math> с <math>S_0 = 0</math> и <math>S_1 = 1</math> |
||
Версия от 06:28, 28 септември 2019
Триъгълно число[1] е общият брой еднакви елементи, които подредени образуват равностранен триъгълник, като в схемата в дясно. Триъгълното число n е сумата на точките в равностранен триъгълник със страни n точки и е равно на сумата от първите n естествени числа. Числото 0 (нулево триъгълно число) също се приема за триъгълно число на триъгълник със страна 0 (n=0). Първите (до n=36) триъгълни числа (последователност A000217 в OEIS) са
- 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, ...
Формула
Точната формула за триъгълно число е:
- ,
където е биномен коефицент. Той представлява броят на неповтарящите се двойки, които могат да бъдат избрани от n + 1 елемента.
Първото уравнение може да се илюстрира с помощта на следното доказателство.[2] За всяко триъгълно число си представете полу-квадратно разположение на елементите, съответстващи на триъгълното число, като на фигурата по-долу. Копирайте тази подредба и я завъртете, създавайки правоъгълник с удвоен брой елементи, с размери . Триъгълното число е винаги точно половината от броя на елементите в такава фигура, или: . Например се илюстрира по следния начин:
(зелени плюс жълти) означава, че (зелени). |
За доказателство се използва и математическата индукция.[3]
Връзка към други фигурни числа
Триъгълните числа имат широк спектър от връзки с другите фигурни числа.
- Произведението на две последователни естествени числа е правоъгълно число.
Така n-тото правоъгълно число е двойно по-голямо от n-тото триъгълно число.
- Сумата от две последователни триъгълни числа е квадратно число.
То е равно на квадрата от разликата на двете числа (следователно разликата в двете е корен квадратен от сумата). Алгебрически:
Графично това се представя така:
6 + 10 = 16 | 10 + 15 = 25 |
Има безкрайно количество триъгълни числа, които са едновременно и квадратни числа; например: 1, 36, 1225. Някои от тях могат да бъдат получени с помощта на обикновена рекурсивна формула:
- с
Всички квадратни триъгълни числа се намират от рекурсията:
- с и
Триъгълни репдиджит числа
Репдиджит е естествено число, състоящо се само от една и съща цифра.
Според последователност A045914 в OEIS има само 7 числа, които са едновременно триъгълни и репдиджит:
0, 1, 3, 6, 55, 66, 666
В случая участват и едноцифрени числа, защото технически те са репдиджит само от една цифра.
Вижте също
Източници
- ↑ Как да преброим числата, без да ги броим или защо математиката е красива
- ↑ Triangular Number Sequence // Math Is Fun.
- ↑ Andrews, George E. Number Theory, Dover, New York, 1971. pp. 3-4.
Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Triangular number в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.
ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни. |