Нютонов бином: Разлика между версии
м Робот Добавяне {{без източници}} |
м без интервал; козметични промени |
||
Ред 1: | Ред 1: | ||
{{без източници}} |
{{без източници}} |
||
'''Биномната теорема''' е [[математика|математическа]] [[теорема]] за разлагането на [[двучлен]], повдигнат на [[степен]]. |
'''Биномната теорема''' е [[математика|математическа]] [[теорема]] за разлагането на [[двучлен]], повдигнат на [[степен]]. |
||
Опростената форма на теоремата за естествени стойности на степента е: |
Опростената форма на теоремата за естествени стойности на степента е: |
||
Ред 10: | Ред 10: | ||
:<math>{n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math> |
:<math>{n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math> |
||
са [[биномен коефициент|биномните коефициенти]], а <math>n!</math> е [[факториел]] на ''n''. |
са [[биномен коефициент|биномните коефициенти]], а <math>n!</math> е [[факториел]] на ''n''. |
||
Тази формула обикновено е приписвана на [[Блез Паскал]], който я описва през [[17 век]]. Всъщност тя е известна още на китайския математик [[Ян Хуй]] през [[13 век]], на иранския математик [[Омар Хаям]] през [[11 век]] и дори на индийския математик [[Пингала]] през [[3 век пр.н.е.]] [[Исак Нютон]] прави важно обобщение на формулата за произволна степен: |
Тази формула обикновено е приписвана на [[Блез Паскал]], който я описва през [[17 век]]. Всъщност тя е известна още на китайския математик [[Ян Хуй]] през [[13 век]], на иранския математик [[Омар Хаям]] през [[11 век]] и дори на индийския математик [[Пингала]] през [[3 век пр.н.е.]] [[Исак Нютон]] прави важно обобщение на формулата за произволна степен: |
||
Ред 20: | Ред 20: | ||
:<math>{r \choose k}={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n),</math> |
:<math>{r \choose k}={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n),</math> |
||
като по определение ''k!'' е [[факториел]]ът на ''k'', и ''0!'' |
като по определение ''k!'' е [[факториел]]ът на ''k'', и ''0!'' = 1. |
||
==Формули за съкратено умножение== |
== Формули за съкратено умножение == |
||
Формулите за съкратено умножение са биноми повдигнати на дадена степен като тяхното решаване става по посочените горе математически формули. |
Формулите за съкратено умножение са биноми повдигнати на дадена степен като тяхното решаване става по посочените горе математически формули. |
||
===Формула от вида (а+b)<sup>5</sup>=== |
=== Формула от вида (а+b)<sup>5</sup> === |
||
Директно решение: |
Директно решение: |
||
(a+b)<sup>5</sup>=(a+b)<sup>3</sup>.(a+b)<sup>2</sup>= |
(a+b)<sup>5</sup>=(a+b)<sup>3</sup>.(a+b)<sup>2</sup>= |
||
(a<sup>3</sup> + 3a<sup>2</sup>b + 3ab<sup>2</sup> + b<sup>3</sup>).(a<sup>2</sup> + 2ab + b<sup>2</sup>)= |
(a<sup>3</sup> + 3a<sup>2</sup>b + 3ab<sup>2</sup> + b<sup>3</sup>).(a<sup>2</sup> + 2ab + b<sup>2</sup>)= |
||
a<sup>5</sup> + 2a<sup>4</sup>b + a<sup>3</sup>b<sup>2</sup> + 3a<sup>4</sup>b + 6a<sup>3</sup>b<sup>2</sup> + 3a<sup>3</sup>b<sup>3</sup> + 3a<sup>3</sup>b<sup>2</sup> + 6a<sup>2</sup>b<sup>3</sup> +3ab<sup>4</sup> + a<sup>2</sup>b<sup>3</sup> + 2ab<sup>4</sup> + b<sup>5</sup> = |
a<sup>5</sup> + 2a<sup>4</sup>b + a<sup>3</sup>b<sup>2</sup> + 3a<sup>4</sup>b + 6a<sup>3</sup>b<sup>2</sup> + 3a<sup>3</sup>b<sup>3</sup> + 3a<sup>3</sup>b<sup>2</sup> + 6a<sup>2</sup>b<sup>3</sup> +3ab<sup>4</sup> + a<sup>2</sup>b<sup>3</sup> + 2ab<sup>4</sup> + b<sup>5</sup> = |
||
'''a<sup>5</sup> + 5a<sup>4</sup>b + 10a<sup>3</sup>b<sup>2</sup> + 10a<sup>2</sup>b<sup>3</sup> +5ab<sup>4</sup> + b<sup>5</sup>.''' |
'''a<sup>5</sup> + 5a<sup>4</sup>b + 10a<sup>3</sup>b<sup>2</sup> + 10a<sup>2</sup>b<sup>3</sup> +5ab<sup>4</sup> + b<sup>5</sup>.''' |
||
Версия от 22:58, 8 януари 2020
За информацията в тази статия или раздел не са посочени източници. Въпросната информация може да е непълна, неточна или изцяло невярна. Имайте предвид, че това може да стане причина за изтриването на цялата статия или раздел. |
Биномната теорема е математическа теорема за разлагането на двучлен, повдигнат на степен.
Опростената форма на теоремата за естествени стойности на степента е:
където n е естествено число и
са биномните коефициенти, а е факториел на n.
Тази формула обикновено е приписвана на Блез Паскал, който я описва през 17 век. Всъщност тя е известна още на китайския математик Ян Хуй през 13 век, на иранския математик Омар Хаям през 11 век и дори на индийския математик Пингала през 3 век пр.н.е. Исак Нютон прави важно обобщение на формулата за произволна степен:
където r е произволно комплексно число и коефициентите се получават с
като по определение k! е факториелът на k, и 0! = 1.
Формули за съкратено умножение
Формулите за съкратено умножение са биноми повдигнати на дадена степен като тяхното решаване става по посочените горе математически формули.
Формула от вида (а+b)5
Директно решение: (a+b)5=(a+b)3.(a+b)2= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3).(a2 + 2ab + b2)= a5 + 2a4b + a3b2 + 3a4b + 6a3b2 + 3a3b3 + 3a3b2 + 6a2b3 +3ab4 + a2b3 + 2ab4 + b5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 +5ab4 + b5.
Решение с използването на Нютоновия бином:
т.е. същата формула, но по много по-лесен начин.
е комбинация на k между n елемента, т.е. , например,
Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Binomial theorem в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.
ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни. |