Сходяща редица

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Граница на числова редица[редактиране | edit source]

Граница на дадена числова редица (a_n) е число l точно тогава, когато за всяко произволно малко положително число \epsilon > 0 може да се намери такова число N(ε), че всички членове аn на редицата с номера n > N(ε) да попадат в интервала (l - ε, l + ε), т. е. да е изпълнено |аn - l| < ε за всички n > N(ε).

\lim_{n \rightarrow \infty} (a_{n}) = l

По-интуитивно определение е следното: Дадено число l е граница на числовата редица (a_n), ако всяка околност ( "всяка околност" е интервалът (l-\epsilon, l+\epsilon) за произволно \epsilon > 0) съдържа всички членове на редицата с изключение на краен брой.

Ако дадена числова редица притежава граница, тогава редицата се нарича сходяща. В противен случай тя е разходяща. Понякога сходяща числова редица с граница нула се нарича нулева или безкрайно малка редица.

Свойства на сходящите редици[редактиране | edit source]

  • Ако редиците (an), (bn) и (cn) са сходящи и клонят съответно към a, b, c, то
\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n + \lim_{n \to \infty} b_n.
\lim_{n \to \infty} (a_n - b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n - \lim_{n \to \infty} b_n.
\lim_{n \to \infty} (a_n . b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n . \lim_{n \to \infty} b_n.
\lim_{n \to \infty} \frac {a_n} {b_n} = \frac {\lim_{n \to \infty} a_n } { \lim_{n \to \infty} b_n}.

за bn ≠ 0 и \lim_{n \to \infty} b_n ≠ 0.

\lim_{n \to \infty} c a_n = c \lim_{n \to \infty} a_n за c = const.
\lim_{n \to \infty} (c_1a_n + c_2b_n) = c_1 \lim_{n \to \infty} a_n + c_2 \lim_{n \to \infty} b_n

при с1 = const, c2 = const.

\lim_{n \to \infty} \log_b a_n = log_b a при b > 0, a > 0, b ≠ 1.
lim_{n \to \infty} {a_n}^p = a^p при а > 0 и произволно р.

По-общо определение за сходяща редица[редактиране | edit source]

Ако L\in M\; казваме, че L е граница на редицата и го означаваме с
 L = \lim_{n \to \infty} x_n
\Longleftrightarrow \forall \epsilon>0\;, \exists N \in \mathbb{N}: n>N \rightarrow  d(x_n,L)<\epsilon.\;
т.е.: тогава и само тогава, когато за всяко реално число \epsilon>0\;, съществува естествено число N такова, че за всяко n>N\; е изпълнено d(x_n,L)<\epsilon.\;
Ако L\in T\; казваме, че L е граница на редицата и го означаваме с
 L = \lim_{n \to \infty} x_n
\Longleftrightarrow \forall U(L) \; \exists N \in \mathbb{N}: \forall n > N \; x_n \in U(L)
т.е.: тогава и само тогава, когато за всяка околност S на L съществува естествено число N такова, че x_n\in S\; за всяко n>N.\;

Ако една редица има граница, казваме, че е сходяща или че редицата клони към някаква граница. В противен случай редицата е разходяща.

Примери[редактиране | edit source]

  • Редицата 1, -1, 1, -1, 1, ... е разходяща.
  • Редицата 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... е сходяща и има граница 1. Това е пример за безкраен ред.
  • Ако a е реално число с абсолютна стойност |a| < 1, то редицата an клони към 0. Ако 0 < a ≤ 1, то редицата a1/n клони към 1.

Още:

\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^p} = 0 при p > 0.

\lim_{n\to\infty} a^n = 0 при |a| < 1.

\lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}} = 1.

\lim_{n\to\infty} a^{\frac{1}{n}} = 1 при a > 0.