Съседен клас

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В теория на групите, левите/десни съседни класове на група по дадена подгрупа , представляват съвкупности от множества, получени чрез умножаване (или събиране, ако записът е адитивен) отляво/отдясно на елементите от групата с всички елементи на подгрупата. Ако левите съседни класове съвпадат със съответните десни съседни класове за всеки елемент на групата, то подгрупата се нарича нормална подгрупа на .

Формално определение[редактиране | редактиране на кода]

Нека е група с мултипликативен запис на операцията, е нейна подгрупа и е даден елемент . Множеството се нарича ляв съседен клас на по . Множеството е десен съседен клас на по .

Свойства[редактиране | редактиране на кода]

Всеки елемент на групата принадлежи на някой ляв/десен съседен клас.

Един елемент принадлежи на дадена подгрупа , когато и съвпадат с , т.е. .

Всеки два различни леви/десни съседни класа нямат общи елементи. Ако два леви/десни съседни класа притежават общ елемент, то те съвпадат.

Всяка крайна група (група с краен брой елементи) има еднакъв брой леви и десни съседни класове по дадена подгрупа. Ред на крайна група е броя на елементите на

Ако подгрупата, по-която се формират съседните класове, е крайна, то броят на елементите в подгрупата е равен на броя на елементите в съседния ляв/десен клас .

Единствено е ляв/десен съседен клас, който е подгрупа на , където с отбелязваме единичния елемент на .

Теорема на Лагранж[редактиране | редактиране на кода]

Нека е крайна група и е нейна подгрупа. Индекс на в , е броят на левите (десни) съседни класове на по .

Теорема: .

Теоремата е наречена на Лагранж — един от пионерите на теория на групите. Първото доказателство е на Абати от 1803.