Формули на Виет

François Viète

Формулите на Виет изразяват зависимостите между коефициентите на даден полином и неговите корени. Формулите са наречени на името на Франсоа Виет (François Viète).

Формули

Нека е даден полином $P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n}$ с коефициенти $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}$ от някакво поле $F$

и корени $r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}$ от $F$ или от някое разширение $E$ на $F$.

$P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n}=a_{0}(x-r_{1})(x-r_{2})\ldots (x-r_{n}).$ Като приравним коефициентите пред съответните степени на $x$, получаваме:

$${\begin{cases}r_{1}+r_{2}+\dots +r_{n-1}+r_{n}=-{\dfrac {a_{1}}{a_{0}}}\\[1ex](r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+\cdots +r_{1}r_{n})+(r_{2}r_{3}+r_{2}r_{4}+\cdots +r_{2}r_{n})+\cdots +r_{n-1}r_{n}={\dfrac {a_{2}}{a_{0}}}\\[1ex]{}\quad \vdots \\[1ex]E_{k}^{(n)}(r_{1},\ldots ,r_{n})=(-1)^{k}{\dfrac {a_{k}}{a_{0}}}\\[1ex]{}\quad \vdots \\[1ex]r_{1}r_{2}\cdots r_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{n}}{a_{0}}},\end{cases}}$$

()

където $E_{k}^{(n)}(r_{1},\ldots ,r_{n})$ е $k$-тият елементарен симетричен полином на $n$ променливи. $$E_{k}^{(n)}(r_{1},\ldots ,r_{n})=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}\left(\prod _{j=1}^{k}r_{i_{j}}\right)$$

И в частност, $${\begin{aligned}E_{1}^{(n)}(r_{1},\ldots ,r_{n})&=r_{1}+r_{2}\cdots +r_{n}\\E_{2}^{(n)}(r_{1},\ldots ,r_{n})&=r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}\cdots +r_{n-1}r_{n}\\\vdots \\E_{n}^{(n)}(r_{1},\ldots ,r_{n})&=r_{1}r_{2}\cdots r_{n}\end{aligned}}$$

Приложения

Формулите на Виет важат както за реални, така и за комплексни корени и коефициенти. В случай че коефициентите и корените са реални числа, формулите на Виет дават възможност да се правят някои заключения за корените, без да се решава уравнението. Например при квадратно уравнение с реални коефициенти и корени, ако произведението на двата корена е отрицателно, то те имат различни знаци; а ако е положително, то те са с еднакви знаци (при това, ако коефициентите са реални числа и c/a < 0, то корените също са реални числа).

Съществува теорема, обратна на теоремата на Виет: ако две числа $r_{1}$ и $r_{2}$ изпълняват условията $r_{1}+r_{2}=-p$ и $r_{1}r_{2}=q$, то тези числа са корени на уравнението $x^{2}+px+q=0$.

Примери

Ако квадратно уравнение $ax^{2}+bx+c=0$ има корени $r_{1}\!$ и $r_{2}\!$, то за тях са в сила следните зависимости:

$r_{1}+r_{2}=-{\frac {b}{a}};$

$r_{1}r_{2}={c \over a}.$

Ако кубично уравнение $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ има корени $r_{1}$, $r_{2}$ и $r_{3}$, то за тях са в сила следните зависимости:

$r_{1}+r_{2}+r_{3}=-{\frac {b}{a}};$

$r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}={\frac {c}{a}};$

$r_{1}r_{2}r_{3}=-{\frac {d}{a}}.$

Източници

• Сътрудници на Wikipedia. „Формули на Виет“ (Vieta's formulas). В: Уикипедия, свободната енциклопедия. Достъпно на: https://en.wikipedia.org/wiki/Vieta's_formulas (посетено на 30.05.2026 г.).