Ядро на Поасон

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Ядрото на Поасон е сумиращо ядро, което се използва в хармоничния анализ. Задава се с формулата

,

където 0 < r < 1. Може да се представи и в следния вид

или

Ядрото на Поасон не е редица от тригонометрични полиноми, но в замяна на това пък P(r,t) е намаляваща функция на t за .

Поради равномерната сходимост на реда, с който се задава P(r,t), имаме следното равенство

ядрото на Поасон се използва като връзка между теорията на тригонометричните редове и теорията на аналитичните функции.

Приложение в комплексния анализ[редактиране | редактиране на кода]

Много важно свойство на ядрото на Поасон, което се използва в комплексния анализ е, че интегралът на Поасон на дава решение на задачата на Дирихле за единичния кръг. Задачата на Дирихле търси решения на уравнението на Лаплас в единичния кръг с гранично условие на Дирихле.

Нека е единичния кръг в C. Ако f е непрекъсната функция , то функцията u зададена с

е хармонична в D и е равна на f по единичната окръжност.