Кариерата му започва през 2004 г., но той дебютира чак през 2007 година в състава на Динамо Москва. Успява да се наложи като титуляр на вратата и изиграва 23 срещи. Шунин става „откритие на сезона“ за 2007 година. Започва сезон 2008 като титуляр в първите 9 кръга, но е изместен от литовеца Жидрунас Качемарскас, а на полусезона е привлечен Владимир Габулов. През сезон 2009 Антон е резерва на Габулов и записва само 8 участия в шампионата. През сезон 2010, след травмата на Габулов, Шунин си връща титулярното място и го спечелва с убедителните си намеси. На 27 август 2010 г. дебютира за националния отбор на Русия, в контрола срещу Полша.
Шунин изкарва целият редовен сезон 2011/12 като титуляр и си връща мястото в националния отбор. На 11 ноември 2011 записва мач за Русия срещу Гърция. Повикан е в тима на „Сборная“ като трети вратар за Евро 2012, но не записва мачове. През ноември 2012 г. по време на мач на Динамо срещу Зенит, е уцелен от фен с бомбичка, в резултат на което получава леки изгаряния и понижение на слуха.[1]
След като Владимир Габулов се завръща за трети път в тима на Динамо, Шунин отново е резервен страж.
Динамо Москва